p.495 Let's Try! 16
(1)
自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える。 例えば, 42は
42 = 3 +4 +5 +6 +7 + 8+ 9 のように7個の連続する自然数の和で表すことができる。 2020を2
個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ。
( 横浜国立大)
1/2を消すため、
と, Sは初項m, 公差 1, 項数nの等差数列の和であるから
自然数mから始まる連続するn個 (n≧2) の自然数の和をSとおく
S=1/2n{2m+(n-1)1}=1/21n(2m+n-1)
ここで S = 2020 とおくと
初項 α, 公差 d, 項数 n の
等差数列の和は
n{2a + (n-1)d}
42S=n(2m+n-1)=4040 = 23・5・101
... ①
4040 を素因数分解して考
m, n は自然数であるから, 2m+n-1も自然数であり、
nが偶数のときは2m+n-1は奇数,
2mは常に偶数だから
える。2920は偶数
2コ以上
以上のことから, ①を満たす自然数の組 (n, 2m+n-1) は
(n, 2m+n-1) = (5, 808), (8, 505), (40, 101)
nが奇数のときは2m+n-1は偶数となる。nによって変わる
さらに,2m+n-1=n+(2m-1)>n より
2\n<2m+n-17
→○+△…=偶数
と2m+n-1は一方が
偶数, 他方が奇数となる。
奇数は5,101,505
476
ゆえに、 求める自然数の組 (m,n) は
(m, n) = (402, 5), (249, 8), (31, 40)
したがって, 2020 を連続する自然数の和で表す表し方は全部で3通り
