-
![]()
-
![]()
隣接3項間の漸化式 (3)
例題 302
2辺の長さが1cmと2cmの長方形のタイルがある. 縦が2cm,横が
cmの長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ
のような置き方の総数を an で表す.ただし, nは正の整数である.
(1) a1,a2 を求めよ.
(2) an+2a+1, an を用いて表せ.
(3) {an}の一般項 α を求めよ.
考え方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる.
のタイルをA
のタイルをBで表すと,
+2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2
枚置くかで2通りに分け
n+1
(ii)
n+1
nn+2
られる.これより,n+2
n√n+2
までのタイルの置き方は,
an+2=an+1+an となる.
解答(1)
タイルの置き方は1通りより
n=1のとき,
n=2のとき, タイルの置き方は2通りより、a2=2
(2) 横が (n+2)cm のとき, タイルの置き方は、次の2
つに分けられる.
SCORE
¹908
(i) すでに横が(n+1)
cm までタイルが置かれて
いて,最後に縦に1枚置いて, (n+2) cm とする。
(i) すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最
後に横に2枚置いて,(n+2)cm とする。
a=
9
an+1-aan=(2-α)βn-1
また, α+β=1,β2=β+1 より, 2-a=8+1=g²
よって,
② - ① より,
an+通り A のタイル
amtl.22同時に起こら m
α=1
a=1+√5₁
2
よって, (i), (ii) より,
an+2=an+1+an
(3) 特性方程式x²=x+1, つまり, x2-x-1=0の2つの解を
_1+√5
B==
1-√√5
2
2
数列{an+1- aan} は初項 az-aa α,公比βの等比数列より、
-
B
an+1- aan = β2.BB"+1......①
また, an+2-Ban+1=α (an+1- Bay) となるから,上と同様に,
an+1- Ban=an+1
an=
......
****
an 通り Bのタイル2枚
-B
n
または
まで置いて
(n+1)cm
いるので, an+1(通り)
縦に2枚並べる置き方
とすると, an+2 - Qan+1=β(an+1dam) となる。
は(i)に含まれる.
mmmmmmmmmmmm
p.534 参照
a₂-a₁ = 2-1-4-11-√5
D
-(an+¹_Bn+¹)
a-
1
n+1
1-√5 x"), an= √5 ((¹+√5)-(¹-√5)***
より,
2/
2
2
2
3+√5
n+1)
