114 岡山大」
を3以上の整数とし, a,b,cは1以上以下の整数とする。
(1) a<b<c となる α, b,c の組は何通りあるか。
(2) abcとなる a,b,c の組は何通りあるか。
(3) a < b かつac となる a,b,c の組は何通りあるか。
解答
(1) 1からnまでのn個の整数から異なる3個を選び, 小さい順に a,b,c とすればよ
cu a
with
いから, 求める組は „C3 — — n(n − 1)(n − 2) (¹ ¹) )
#164/RMO!
(2) abcは,a<b<c,a=b<ca<b=c, a=b=cの4つの場合に分けられる。
[1] a<b<cのとき
(1) から n(n-1Xn-2) ¹)
[3] a <b=cのとき
R
[2] と同様にして
[2] a=b<cのとき
1からnまでのn個の整数から異なる2個を選び, 小さい方をa, b, 大きい方をc
n(n-))
とすればよいから
n(₂=
=n(n-1)
21
=thost
C₂ = n(n − 1) (G¹))
72
n
k=1
C₂=n(n-1) (¹)
cは(n-k+1) 通りある。
よって, 求める組は
Z(n−kXn−k+¹)=Z¹ {k²—(2n +1)k+n(n+1)}
a,b,
通り
4を1日
[4] a=b=cのとき
1からnまでのn個の整数から1個選べばよいから
[1]~[4] から, 求める組は
2008/1/2n(n-1Xn-2)+2×1/12n(n-1)+n=1/n(n+1Xn+2)(通り)
別解 1からnまでのn個の整数から重複を許して3個選び, 小さい順にa,b,c とす
1
ればよいから
„ H3=n+2C3= n(n+1)(n+2) (¹))
2010/11
(3) aは1からn-1までの(n-1)個の整数のいずれかである。 a=k (1≦k≦n-1)
とすると<bを満たす6は (n-k) 通りあり, そのおのおのに対し, k≦c を満たす
=1/(n-1)m{(2n-1)-3(2n+1)+6(n+1)}
=(n − 1)n(n+1) (¹))
の数
(3)
解
(1)
= (n − 1)n(2n-1)-(2n +1) • ½ (n−1)n+n(n+1Xn − 1)
