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て、AC=a, AF 6, AH=とするとき、
おいて、 次の等式が成り立つことを示せ。
*(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
AB=d, AD=e, AE= を用いて表してみる。
れのベクトルをa, こで表す。
y,z), 6=(x, 1, -1) のとき, 2-1=0 が成り立つように,
x, y, zの値を定めよ。
100 = (1,2,3)=(025) = (1,3, 1) のとき,次のベクトルを
sa +to+uc の形に表せ。
(1)=(0,3,12)
*(2) g=(-2,29)
1014点 0(0,0,0), A(0, 1, 2), B1, -1, 1), 2, 1, -1) について,次の
ベクトルを成分表示せよ。 また、 その大きさを求めよ。
*(1) OA
(2) OC
*(3) AB
(4) AC
*(5) BC
102 座標空間に平行四辺形ABCD があり, A3, 4, 1), B(4, 2, 4), C (-1, 0, 2)
であるとする。 頂点の座標を求めよ。
6.
-4STEP数学Cベクトル
AB=a, AD=1.
■E=" とすると
_G=AB+BC+CG
-b+c
=-2a-+46
-2(1.-1. 2)-(2.-1.-2)+4(0, 2, 11
=(-2,2,-4)-(2,-1,-2)+(0.8, 4)
=(-4. 11. 2)
|-20_(246)=√(-4) +11 +2
=√141
99 246 23. y, z)(x, 1, -1)
=(6-x. 2y-1.2+1)
6fc)-(a+b+c) = 24
F-CE-(-4)-(-a-b+c)=2a
AG-BH=DF-CE
H+2DF
3(-a+b+c)+2(a-b+c).
=-a+b+5c
+ 3CE + 2BC
=2(a+b+c)+3(-a-b+c)+25
= -a+6+5c
3BH+2DF =2AG+3CE +2BC
a=21. 1,2)=(2, 2, 4)
-a|=√2°+(-2)+4=2√6
0, 2, 1)=(0, 6, 3)
VO2+62+3=3√5
-1,-1,2)=(-1, 1, -2)
√(-1)²+1°+(-2)^=√6
240とすると
よって
ゆえに
(6-x, 2y-1, 2z+1)=(0, 0, 0)
6x=0.2y1=0.2z+1=0
x=6.y=1/22-12/2
100 sa +to+uc
=(1,2,3)+0.25)+(1,3,1)
= (s+u, 2s+2 +3u, 3s + 5t+m)
(1) p=sa+to+uc とおくと
(0.3,12)= (s+w, 2s+2t+3u, 3s+5t+m)
よって
s+u= 0, 2s+2t+3u=3,
3s+5t+u=12
これを解いて
したがって
s=1,t=2, u=-1
p=a+2_c
(2) q=sa+tb+uc とおくと
(-2, 2, 9)=(s+u, 2s+2t+3u, 3s+51+u)
よって |s+u=-2, 2s+2t+3u=2,
3s+5t+u=9
これを解いてs=-2,t=3,0
したがって q=-2a+3b
-4(0.2.1)=(0,-8,-4)
VO'+(-8)+(-4) =4v5
-1, 2)+(0, 2, 1)
A
(2) OC (2,1,-1)
1, 3)
1' +12 +32 = VII
2, 1)-(1, -1, 2)-A-TA
1,3, -1)
(-1)+3°+(−1)=VIT
1,-1, 2)+30, 2, 1)
2,4)+(0,6,3)
4. 7)
23+4+7=√69
-30, 2. 1)+(2,-1,-2)
0.6.3)+ (2 -1, -2)
(1-)+(6-)+9
A
101 (1) OA (0, 1, 2) -
|OA| = √O2+12+2=√5
|OC|=√22+12+ (−1)²=√6
(3) AB (1-0, -1-1, 1-2)=(1, -2, -1)
|AB|=√12+(-2)+(-1)²=√6
(4) AC=(2-0,11,12)=(2.0-3)
AC
(5)BCは同じように飛
ゆえに
(-5.-2.-2)
(x-3. y-4, 2-1)=(-5, -2, -2)
x-3=-5, y-4-2, 2-1-2
よって
x=-2, y=2, -1
これを解いて。
したがって、頂点の座標は(-2.2.1)
103
与えられた3点A, B, Cをもつ平行四
辺形は複数考えられることに注意する。
それぞれの場合で 四角形が平行四辺形にな
る条件を考える。
条件を満たす平行四辺形は
[1] 平行四辺形ABCD
[2] 平行四辺形 ABDC
平行四辺形 ADBC
の3つの場合が考えられる。
頂点の座標を (x, y, z) とする。
[1] 四角形 ABCD が平行四辺形であるための必
要十分条件は
よって
ゆえに
AD = BC
(x-3, y-0, z+4)
=(4+2, 3-5, 2+1)
x-3=6, y=-2, z+4=3
したがって x=9, y=-2,z=-1
SA
-27
よって、はた一のとき小
をとる。
√導をと
105 +xb+ ye
[2] 四角形 ABDC が平行四辺形であるための必
AB=CD
要十分条件は
よって (-2-3, 5-0, -1+4)
ゆえに
したがって
+=(x-4. y-3, z-2)
5=x-4,5=y-3.3=z-2
x=-1, y=8,z=5
(4)
=(1,-1, -3)+x2.21)+y-1.1.0)
[3] 四角形 ADBC が平行四辺形であるための必
AD=CB
要十分条件は
よって (x-3, y-0, z+4)
ゆえに
したがって
=(-2-4, 5-3.-1-2)
x3=-6,y=2, z+4=-3
|x=-3, y=2, z=-7
[1]~[3] から, 頂点の座標は
=(2x-y+1.2x-y-1. x-3)
よって
(9, -2, -1), (-1. 8, 5), (-3. 2, -7)
104 =a+b=(0, 1, 2)+(2. 4. 6) 58
=(2t,1+4z, 2+6t)
一番見ました (20+(1+4+2+64)。
IBC|=√1+2+(-2でしょうか。
102 四角形ABCD が平行四辺形であるための必
要十分条件はAD=BC である。
頂点の座標を(x, y, z) とすると
AD=(x-3, y-4, 2-1)
BC=(-1-4, 0-2. 2-4)
=56t2+32 +550
22 3A-7
t+
\a+xb+ ye
=(2x-y+1)+(2x-y-1)+(x-3)^
=(2x-y) +2.2x-y)+1.
2x2x)+1+(x-3)
=2.2xy+(x-3)+2
2. la+b+ ye³ it 2x-y=0. x-3=0
STEP A・B、発展問題
のとき、すなわちょ=3. y=6のとき最小となる。
a + + ye120 であるから、このとき
a+x+ycelも最小となる。
よって、 求めるxyの値は
106 平行六面体を
ABFDCEHGとし、
ゆえに、は1=2のとき最小値をとる。
20であるから,このときも最小となる。
座標空間の原点を0と
する。
x=3y=6
AB-(0-1, -4-1, 0-2)
=(-1.-5,-2)
AC=(-1-1, 1-1-2-2)
=(-2.0.4)
AD=(2-1, 3-1, 5-2)
=(1,2,3)
四角形 ABEC, ABFD, ACGD, BEHFは平
四辺形であるから
OE = OB+BE = OB+AC
=(0, -4, 0)+(-2, 0, -4)
=(-2,-4,-4)
OF = OB+ BF = OB+AD
=(0, -4, 0)+(1, 2, 3)
=(1,-2, 3)
OG=OC+CG=OC+AD
=(-1,1,-2)+(1,2,3)
=(0, 3, 1)
OH = OF + FH = OF +AC
=(1, -2, 3)+(-2, 0, -4
=(-1,-2,-1)
