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重要 例題 113 漸化式と極限(b)
数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3,
(1) 0<a<3を証明せよ。
(2)3-an+1 <
3
(3) 数列 {a} の極限値を求めよ。
00
……)を満たすとき
(3-an) を証明せよ。
[類 神戸大]
p.174 基本事項 3 基本105
指針>(1)すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。
(2) (1)の結果,すなわち an > 0, 3-a > 0 であることを利用。
(3) 漸化式を変形して,一般項 annの式で表すのは難しい。 そこで, (2) で示した不等
式を利用し, はさみうちの原理を使って数列 {3-an} の極限を求める
はさみうちの原理 すべてのnについて nan≦gn のとき
818
limp = limgn=α ならば
liman=a
1110
なお、次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1)0 <an<3
......
① とする。
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<ak <3
n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから
ak+1=1+√√1+ak >2>0
ak+1=1+√1+ak <1+√1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
08
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
(一
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2)3-an+1=2-√1+an
(3)(1),(2)から
1 n-1
lim(
nco 3
したがって
tan2+,/1+an</3(3-an)
0<3-a)(3-as)
(3-1) = 0 であるから
lim(3-an)=0
N11
liman=3
n→∞
練習
3
=2, n≧2のときan=-
3 113
数学的帰納法による。
<0<a<3
補足
重要例題1
る場合は
とよい。そ
漸化式
① 極限
liman
②/am
3 27
limk
したが
例えば,
が考えられ
① 極限
a-1=
漸化式
ant
2
Jan
<0<ak から √1+α>1
|an+1
lan-
ak<3 から 1+ax < 2
<3-a>0であり, か
ら 2+√1+α>3
n≧2のとき, (2) から
3-an<-(3-an-1)
<()*(3--
-an-
n-1
<(+)*(3-as)
-12 Van-1-1/2 を満たす数列 (cm)について
(1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。
(2) 数列{a} の極限値を求めよ。
〔類 関西大
ゆえに
30<
したが
注意
の
例
y
