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第2問~第4問は、いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第2問 選択問題 (配点20)
図1のように、東西南北に作られた碁盤の目状の道路があり、交差点と交差
点の間の1区画の距離は1km である。
0°
0
が対応している。
.P 北
図1
地点Oから地点P までの最短経路について考えてみよう。
東に1区画進むことを「→」,北に1区画進むことを「↑」と表すことにすると
一つの最短経路に対して、「→」3個 「1」 3個の並べ方が一つ対応するので最
短経路の総数はアイ通りと求められる。
東
西
最短経路の距離は6km であるが,初めて地点Pに到達するまでの距離が8km
になるような経路の総数はいくつになるだろうか。 ただし, 図1の道路のみを移
動し、交差点以外の場所で進む方向を変えないこととする。
例えば、距離が8km になるような経路には図2、図3のような場合がある。
P
P
南
図2
図3
西に1区画進むことを 「←」 南に1区画進むことを「↓」と表すことにし, 経
路に対応した←↑↓の順列を道順ということにすると
図2の経路には, 道順→↑←↑→→→↑
図3の経路には, 道順 →↑↑→↓→↑↑
(第6回3)
(数学Ⅰ・数学A 第2問は次ページに続く。)
(1) ↑↓の順列には対応する経路が存在しないものも含まれる。 例えば、道
には対応する経路がない。
ウ
順
HO
I
と
する。
I
nom
O
② ↑↑↑↓→→1③→→→1→1-1-
の解答群 (解答の順序は問わない。)
オ
↑→↓→↑↑↑
2017
(2) 図2のように, 「←」 が含まれるような道順の総数を考える。ただし、例えば,
道順が→→→↑↑↑← → のように最短経路で地点Pに到達した後、1kmの区
仕復して再び地点Pに到達する経路も含めて考える。
」か「↑」 が3個の順列が一つ対応
一つの経路には、「
T20 2015 40ATEMONEY
(1) での考察から 「→」が4個, 「←」 が1個の5個については、 並びにオ
という制約があるので,「→」が4個,「←」が1個の5個の並び方は カ
通りある。
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これに 「↑」を含めた8個を並べると, 「←」が含まれる道順の総数はキクケ
通りある。
同様に考えると、図3のように,「↓」が含まれる道順の総数はコサシ 通
01030943-1
りある。
したがって 初めて地点Pに到達するまでの距離が8km になるような経路
の総数はスセソ 通りと求められる。
① tttt→→
の解答群
+
は左端にのみ並ばない
「←」は左端にも右端にも並ばない
(第6回4)
JUTUSA
① 「←」は右端にのみ並ばない