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重要 例題 210 4 次関数が極大値をもたない条件
関数f(x)=x^- 8x3+ 18kx" が極大値をもたないとき, 定数の値の範囲を求め
[福島大]
よ。
指針 4 次関数f(x)がx=pで極大値をもつ
x=カの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる
であるから、 f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考
える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす
るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。
解答
f'(x)=4x²-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k)
f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の
前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。
このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。
f'(x)=0 とすると
よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0
[1] 重解または虚数解をもつ
[1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると
D
tala
または x2-6x+9k=0
x=0
=(-3)²-9k=9(1-k) であるから 1-k≦0
極
(土)
[2]x=0を解にもつ
D
よって
k≧1
[2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると
したがって
PES
k=0,k≧1
(日)
a B Y
① 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解
(a <B<y とする)
a=β<y, a<β=y
a=By
ww
極
極
a B=y
x
p
f'(x) + 0
極大
f(x)
k≥1
k=0
10)8-89-18
A=8+b
k=0=8-³(80) (8
α
③ 1つの実数解と
YA k>
O
(+1
)
=(ニュー(デ
[参考] [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [4次の係数は正] に対し,f'(x)=0
は3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、 他の2つの解が実
数であれば β, y とする。 この解は次の4つの場合がある ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が
A= (0-1)A 20087 18-0
逆になり, 極大と極小が入れ替わる)。
α
基本 203207
0
異なる2つの虚数解
W
|極
極
小
3
YASET
|k=1
x
/6x
極
小
練習 f(x)=x^+4x3+ax² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
4 210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。
Cp.327 EX137
Ⓡ13
② 13
③1
E
