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基本例題 235 定積分の部分積分法 (2) ･･･ 同形出現 200
a は 0 でない定数とし,A=Ste-a
このとき, A,Bの値をそれぞれ求めよ。
B:
re-axsin2xdx, B=fe-ax cos 2xdx とする。
指針▷ p.363 重要例題217と同様, 部分積分法により A,Bの連立方程式を作る。
[1] A=(-a) 's sin 2x dx, B=(-a) 車方
cos 2xdx とする。
[2]
A=S²e-ax(_cos
A-ffe-alf-Cog2xdx, B=fferal( sin'x) dx とする。
cos2x)
B=S"e-ax(
いずれの方針でもよいが,ここでは [1] の方針で解答する。
[別解
解答
A= -S(-a) sin 2x dx
e-ax
ax
ax
[-a sin 2x]-a 2 cos 2x dx = 2B
0
a
B=(-a) cos 2x dx
! s4=
積の積分 ersinx, e*cosx なら同形出現のペアで考える
e-axsin2x)', (e-ax cos 2x) を利用して, A,Bの連立方程式を作る。
Spol
axc
T
CT -ax
=[ez cos 2x] - Snea (-2sin 2x)dx
o-a
[e-arsin23
sin 2x]"*-
x
Jo
-² (1-e **)-²2A.... 24867 znia--laniel
かれる。 alaxial
‚êŠTAT:
練習
(3 3 235
²6²- | < 1 - 0 - - - - - - - |
①からB=1/2/A
STANSHORT
これを②に代入して
2
-(1-e-a), B=
したがって A=
別解
a²+4
解(e-axsin2x)'=
'=-aex sin 2x+2e-ax
cos 2x
(e-axcos 2x)'=-aex cos2x-2ex sin 2x であるから
*=-a4+2B, [e-ar cos 2x] =
*cos 2x =-aB-2A
1/2A=1/12(1-6-²)-2A
1-e-an)
a
①
(上の指針の方針 [2] による
解法)
04-[e-ax(_CO$2x)]*
a
a
a² +4 1200
(1-e-a)
よって
aA+2B=0, -aB-2A=e-an-1
この2式を連立して解くと, 上と同じ結果が得られる。
重要 217, 基本 234
[類 札幌医大 ]
(1) Sex sinxdx を求めよ。
R
(2) (1) の結果を用いて, xe "sinxdx を求めよ。
a
2
cos
e
e-ax cos 2xdx
I-e-an)-2B,
B=[e-er sin 2x ]
1
-ax
Jo 0
+ Sexsin 2x dx
(c)
A
から A, B を求める。
(2+²) A = ² (1-e-*)
積の導関数
(uv)'=u'v+uv
両辺を積分する。
PES
指
1
