基本 例題 10 支払いに関する場合の数
あの①①①
000
1500円,100円 10円の3種類の硬貨がたくさんある。 この3種類の硬貨を使っ
て,1200円を支払う方法は何通りあるか。 ただし, 使わない硬貨があってもよい
ものとする。
指針支払いに使う硬貨 500円 100円 10円の枚数をそれぞれx, y, z とすると
解答
500x+100y+10z=1200 (x,y,zは0以上の整数)
この解 (x, y, z) の個数を求める。 からxの値を絞り、場合分けをする。
~
金額が最も大きい500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。
支払いに使う500円,100円 10円硬貨の枚数をそれぞれx, y,
基本7
とすると,x, y, zは0以上の整数で
500x+100y+10z = 1200 すなわち 50x +10y+z=120
ゆえに 50x=120-(10y+z) 120 よって
5x≤12
不定方程式 (p.515~)。
Ay≥0, z≥0 75345
xは0以上の整数であるから
[1] x=2のとき
x=0.1.2
10y+z=20
この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は
(y, z=2,0),(1,10), (0,20)の3通り。
[2] x=1のとき
10y+z=70
この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は
(y,z)=(70) (6, 10), ...... (070) の8通り。
[3] x=0のとき
10y+z=120
この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は
(
(y, z)=(12,0), 11, 10), ..., (0, 120)の13通り。
[1] [2] [3] の場合は同時には起こらないから求める場合の
数は
る
P3+8+13=24 (通り)
50x≤120 これを満た
す0以上の整数を求める。
110y=20-z≦20から
10y 20 すなわち y≦2
よってy=0, 1, 2
10y=70-z70から
10y≦70 すなわち y≦7
よって y=0, 1, …, 7
10y=120-z120から
10y≦120 すなわち y≦12
., 12
よって y=0, 1, ...
(S) 和の法則
31
311
1章
2
合の数
