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基本 例題83 極方程式と軌跡
OO0
点Aの極座標を(10, 0), 極0と点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任
意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極0から垂線 OP を下ろし,点
Pの極座標を(r, 0) とするとき, その軌跡の極方程式を求めよ。ただし,
0S0<rとする。
【類岡山理科大]
基本81
指針>点P(r, 0) について, r, 0の関係式を導くために, 円Cの中心Cから直線 OPに垂線
CH を下ろし, OPと HP, OH の関係に注目する。…
まず, 0<0<う2
T
<0<πで場合分け をしてr, 0の関係式を求め,次に, 0=0,
2章
Tπ
の各場合について吟味する。
2
11
CHART 軌跡軌跡上の動点(r, 0)の関係式を導く
-08091
解答
円Cの中心をCとし, Cから直線 OP に垂線 CHを下ろすと
10= を境目として, Hが
2
線分 OP上にあるときと,
線分 OP の延長上にある
ときに分かれる。
OP=r, HP==5
P
[] 0<0<号のとき
Q
H
OP=HP+OH
5
0
-5-C
直角三角形COH に注目。
OH=5cos0であるから
r=5+5cos
A
X
C
[2] 号くの<れのとき
2
OP=HP-OH
直角三角形 COH に注目。
ここで OH=5cos(πー0)=15cos0
よって r=5+5cos0
[3] 0=0 のとき, PはAに一致し,
OP=5+5cos0を満たす。*
P.
Y、
(*)[1], [2] で導かれた
O C
A
HT-0
C
X
r=5+5cos0が0=0,
2
のときも成り立つかどうか
をチェックする。
参考 r=5(1+cos0) で表さ
[4] 0= のとき, OP=5で,
T
OP=5+5cosを満たす。*)
れる曲線をカージオイド と
2
いう(p.151 も参照)。
以上から,求める軌跡の極方程式は r=5+5cos 0
練習
点Cを中心とする半径aの円Cの定直径を OA とする。 点Pは円C上の動点で,
83 点Pにおける接線に0から垂線 OQ を引き, OQの延長上に点Rをとって
QR=aとする。 0を極, 始線をOA とする極座標上において, 点Rの極座標を
(r, 0) (ただし, 0%0<z) とするとき
「大(1) 点R の軌跡の極方程式を求めよ。
(2) 直線 OR の点Rにおける垂線 RQ' は, 点Cを中心とする定円に接すること
を示せ。
p.152 EX63
E極座標、極方程式
