例題41 等式 x+2y+3z=12 を満たす自然数x, y, z の組をすべて求めよ。
Aが自然数 (正の整数)
→ A≧1 という条件を活かし、値を絞り込む。
係数が最大のzの項以外を右辺に移項し, x≧1, y≧1 を利用すると
3z=12-x-2y≦12-1-2・1=9 となり, の値が絞り込める。
解答 x,y≧1であるから
ゆえに
z≤3
3z=12-x-2y≦12-1-2・1=9
Z
は自然数であるから
z=1,2,3
x+2y=9
[1] z=1のとき
x=1であるから 2y=9-x≦9-1=8
ゆえに y≤4
は自然数であるから y=1,2,3,4
よって (x, y)=(7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)
[2] z=2のとき
x+2y=6
x≧1であるから 2y=6-x≦6-1=5
ゆえに
5
y≤2
yは自然数であるから
y = 1, 2
よって (x, y)=(4, 1), (2, 2)
[3] z=3のとき
x+2y=3
x≧1であるから 2y=3-x≦3-1=2
ゆえに y≦1
yは自然数であるから y=1
よって (x,y)=(1,1)
以上から (x, y, z) = (7,1,1) (5,2,1) (3,3, 1), (1, 4, 1),
(4, 1, 2), (2, 2, 2), (1, 1, 3)
x+2y
別解 z=4-
と変形できる。
3
x, y, zは自然数より x+2y=3,6,9
第3章
数学と人間の活動
ses
x+2y=3 のとき (x, y, z)=(1,1,3)
x+2y=6 のとき (x, y, z)=(2,2,2), (4,1,2)
x+2y=9 のとき (x, y, z)=(1, 4, 1), (3,3, 1), (5,2,1) (711)
