令和6年度 夏期補習 数学(標準) チャレンジ演習②
次の問題について, 太郎さんと花子さんが会話している。 会話文を読んで以下の問いに答
えよ。
[問題] 実数 αに対し, f(x)=x2-2(3a²+5a)x+18a +30a' + 49a2+16 とおく。
αが実数全体を動くとき 2次関数y=f(x) のグラフの頂点のy座標の最小値
を求めよ。
(1)
太郎: 計算すると ア 2+ イ
ウ
a,
4
la^+ エオ a2+カキが頂点
の座標だとわかったよ。
花子: 頂点の座標が4次式だよ。 どうやって最小値を求めればいいんだろう。
太郎: t=ax とおけば頂点のy座標は2次式になるから,解けるはずだよ。
花子:本当だ。 ウエオ+ カキについて考えればいいんだね。
太郎: 平方完成してみると最小値は0になる(A)ことが分かるね。
花子 : 私は違う答えになったけど・・・。
~
カキに当てはまる数を答えよ。
(2) 太郎さんの下線部(A) の発言は,誤りである。 正しい最小値はクケであり,その
ときのαの値は コ である。
(3)(i) 次の①~③の関数のうち, 下線部(X)のように置きかえることで
太郎さん･花子さんと同様の方法で頂点のy座標をtの整式で表せるものを1つ選
なお,そのような関数は複数あるが解答は1つでよい。 サ
© y= −x²+2a²x−4a²+8
① y=2x2+8ax+5a+2a +4
② y=x2-2ax+3a-a3+2 ③ y=x2-2ax-a-a2-3
(ii) サで選んだものについて、頂点のy座標の最小値を次の①~⑦のうち
1つ選べ。ただし,最小値がない場合は ⑦を選べ。
0 0 0 1 ② 2
②③ 3 4465
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