56
力学
18
18 保存則
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滑らかで水平な床に,質量
Mの箱が置かれ、中央の位置
で質量mの小球Pが長さの
糸でつり下げられている。 重
力加速度をg とする。
P
m
M
A
I図の静止状態で, Pだけに水平右向きに初速vo を与える。
(IPが最高点に達したときの箱の速さを求めよ。ただし,Pは箱
には衝突しないものとする。
(2)そのとき糸が鉛直方向となす角を0 として, cos O を求めよ。
II. 糸が鉛直方向と角をなす位置AまでPを移し, 全体が静止した
状態でPを静かに放す。
SPが最下点に達したときのPと箱の速さをそれぞれ求めよ。
(2)摩擦がないので、力学的エネルギー保存則が成り立つ。P は I-lcos bo
だけ高い位置にきたから
1/12mus²=1/23mv+1/2M+mg(1-lcos 0。)
(1)のv1 を代入して cos を求めると
Mv2
難しいこと考えないでこれで+Migl
(3)運動量保存則より,水平方向の全運動量
0なので、Pが左へ動けば箱は右へ動く。
最下点での速さをv, Vとすると
......①
mv = MV
力学的エネルギー保存則より
mg(1-1cos9)=1/23
2
P
そのとき、箱ははじめの位置からどれだけ動いているか。
(東工大+京都大 )
①②より
v=
V
5mv2 + 1/12 MV2
/2Mgl (1-cos 0)
m+M
V = m√
(4) 水平方向には全体の重心Gは動かない。 箱の
重心をMとする。 2つの質点の重心は,質点間
質量の逆比で内分する点である。 初めのMと
Pの水平方向の距離 sin0 に着目すれば, 箱
2gl(1-cos 0)
M(m + M)
I sin
A
糸
MW
iM
Level (1)~(3)(4)★★
Point & Hint
(1)~(3) 最高点の扱い方や保存則の適用など, 前問17と同様。
(4) 運動量が保存されるとき、重心の速度は一定となる (エッセンス (上)
p66 ここでは、はじめ静止しているので、重心の位置は水平方向には動
かないことになる。 運動量保存則から両者の移動距離の比が一定になること
に注目してもよい。
LECTURE
(1)Pが最高点に達したとき,Pと箱の速度
U は等しくなっている。 水平方向には外力
がなく、運動量保存則が成り立つので
mv=mvi+Mv1
..ひ=
m
m+MU
止まった
V₁
V₁
P
A
が動いた距離 Dは
m
D=
lsin 0
MP
m+M
別解 初めのMの位置を原点として水平右向き
にx軸をとり、重心の公式を用いて解いてもよ
い。 重心の座標はDだから
糸
M
OP
D=
mlsin0+M× 0
m+M
別解 ①より V=Mつまり,両者の速さの
比は常に一定。そこで,動いた距離の比も同
じく, //= M となるはず。
D m
一方, 図より
line = D+d
これら2式よりDを求めることもできる。
