例題13-4 (2次形式)
次の2次形式の標準形を求めよ。
標準形に書き直すことができる。
[解説] 2次形式 'xAx は適当な直交行列P による変数変換x=Pyによって,
解答 Q(x,y)=2x²-4xy-y²=(xy)
^= (-²2-²³)
-1
行列 A の固有値を求めると, 32
2次形式の行列は,A=
これはただちに正規直交化できて,
2
√5
b₁ =
固有値 3, -2 に対する固有ベクトルとして, a1=1
//////////
a₁
Tail
そこで,P=(bb2)=
ここで,
Q(x,y)=2x²-4xy-y²
1
2
+/- (-²)
類題13-4
5
2
√√5 √5
1
2
15 √5
(3-2)
= (X_Y)
とおくと,
-2
=²) (*) **
3)(3)
b2
次の2次形式の標準形を求めよ。
Q(x, y,
-2
このとき. Q(x,y)=(xy) A(x)
- (-2)-(2) か?
Pは直交行列で, 'PAP=
X
(*) - P (4)
( * )= ( x ) ²³
'P
£>T, Q(x, y)=(x _y)A(*)=(X_Y) PAP(X)
a2 1
|az|
X
» (³-2)(x)=
=
とおくと,
より,
√5
- (2) -
z)=5x²+y²+z²+2xy+6yz+2zx
151
がとれる。
1
√5
2
√5
=3X2-2Y?･･･ 〔答〕
:: (x y)=(X_Y)'P
解答は p.263
