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例題 34
絶対値を含む不等式の証明
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次の不等式を証明せよ。
(1)|a+b≦|a|+|6|
(2)|x|-|y|≦|x+y|
第 1 章
考え方 絶対値を含むので、このまま差をとるよりも、
例題29のように, 両辺を平方して差をとれば一番
よい.
<絶対値の性質>
A (A≧0)
|A|=
A≧O B≧0 のとき,A≧BAB
mi
である.
また,
A≧A の性質を利用する。
AO のとき, |A|=A
-A (A<0)
|A|²=A²
・|A||B|=|AB|
|A|≥0, |A|≥A, |A|≥-A
LAIZA)
\A<0 のとき, |A|>0, A<0より, |A|>A
(2) (1)の不等式を利用する.
・|-A|=|A|
|x|-|y|≦|x+y|→|x|≦x+y+lyであることから,|x|≧|x+y|+|yl
を示す.
(1)|a+b|≧0, |a|+|6|≧0 より 平方して比べる.
=|a|2+2|a||b1+10%-(a+b)2
|a|0|61≧0
|a|+|6|20
=a+2|ab|+b2-a2+2ab+b2)A|2=A',
(|a|+|6|)-|a+b12
=2|ab|-2ab=2 lab|-ab)
ここでLab|≧ab より,
ab-ab≧0となる.
よって,不等式 la+bl≦|a|+|6| が成り立つ.
(2)|x|=|x+y-y|=| (x+y)+(-y)| とすることが
できる.
(1)より,
(公開)
m
(x+y+(-1)=lsteltle
したがって, |x| ≦ x+y|+|y|
|=|x+y|+|y|
よって、不等式|x|-|y|≦|xty| が成り立つ。
ocus
|A||B|=|AB|
|A|≧A を利用す
る.
A=ab と考える.
(1)の結果を利用
a=x+y,
b=-y
|| を左辺へ移項
|A|>|B|の証明⇒|A|-| B|=AB'>0 を示す
注 例題 34 (1) は (面倒であるが) 次の場合に分けて証明することもできる。
(i) a≥0, b≥0, a+b≥0, (ii) a<0, b<0, a+b<0, (iii) a≥0, b<0, a+b≥0
(iv) a≥0, b<0, a+b<0, (v) a<0, b≥0, a+b≥0, (vi) a<0, b≥0, a+b<0
(2)は,(i) |x|-|y|<0 (ii) |x|-|y|≧0 の場合に分けて証明することもできる.
> (1),(2)より|a|-|0|≦|a+b|≦|a|+|6| が得られる. これを三角不等式という。
