$2 数列
7 2022年度 〔2〕
a は α = 1 をみたす正の実数とする。 xy平面上の点P1, P2,........ P......... および
Q1, Q2, Q ...... が すべての自然数nについて
P„Pm+i= (1 − a) P»Q«. Q»Q»+i=(0.
a™"
l-al
をみたしているとする。 また, P, の座標を(xm, ym) とする。
(1) x2 を α X, Xn+1 で表せ。
(2) x=0,x2=1のとき、 数列{xm}の一般項を求めよ。 Mes
(3) y =
Level C
-80-(0) X-M
a
(1-a) Y2-y=1のとき,数列{y}の一般項を求めよ。 (パー
解法
ポイント (1) P.Pri= (1-4) P,Q, の両辺のベクトルを.0を始点とする位置ベクト
ルで表し, Q² を求める。 これより Q1 も求められるので,Q,Q.1 を計算し、
QnQ+1= = (01-0) へ代入していく。
(2) (1)で求めた漸化式がx+2x+1=B(x+1-αx) と変形できたとして,α.βの値を
求め、2通りの数列の一般項を出して連立させて, 一般項を求める。
(3)(1)より、数列{y}の漸化式が求められ, 式変形を工夫して階差数列の一般項を計
算する。 あとはy=y+)
+2(ya-i-ya) (22) へ代入して,一般項y" を求める。
(1) PP+1=(1-4) PmQm より
1
a
0Qn+1= -OP +2 -- - OP +1 ......
1-a
l-a
① ② より
QnQn+1=0Qm+1-OQ²
1
-- OP..:-1+4 OP..+ OP.
+1
1-a
OPn+2 (1+a) OP+1+aOP= (1-a) Q»Qu+i
それぞれの成分を代入すると
③の成分を比較して
(Xn+2. Ym+2) – (1 + a) (Xn-1, Ye-i) + a (x, y) = (1-a) (0, 2)
Xn+2- (1+α) xn+1+αx = 0
a
l-a
よって
Xn+2=(1+α)x+1- ax ･･････(答)
2 xw+2QXn+1= β (x+1- αx²) と変形できたとすると
Xn+2=(a+β)x+1-αBxm
(1) の漸化式と一致する条件は
α+β=1+α, αβ=a
解と係数の関係より, α, βは2次方程式 (1+α)t+α=0の2解だから
(t-1) (t-α)=0 より
t=1, a
α=1, β=α のとき
Xn+2-x+1=a(x+1-xm),X2-x=1-0=1
これより. 数列{x+1-x} は,初項 1. 公比αの等比数列だから
Xn+1-Xn=α"-1 ...... ④
α=α β=1のとき
2
④ - ⑤ より
α≠1より
Xn+2axn+1=X刀+1 - ax, x2 -αx=1-0=1
これより,数列{x+1- 4.x} は, すべての項が1である定数列だから
Xn+1-4x=1
......5
(a-1)x=α"-1-1
a" 1-1
a-1
Xn=
