x, yは自然数であるから, x+ y, x-yはともに整数であり x+y>x-y
また,x+y>0 であり,これとOより
さらに(x+y)ー(x-y)=2y は偶数なので x+yとx-yの偶奇は一致する。
ゆえに,O から
これを解いて
x-y>0
(x+ y, x-y)=(6, 2)
(x, y)=(4, 2)
(3) x?=6(60- y?)
よって, x? は6 の倍数である。
ゆえに,xも6の倍数である。
のに代入して整理すると 6k2%=60-y?
よって,yPは6の倍数であるからyも6の倍数である。
ゆえに,y=67 (7は正の整数)と表される。
のに代入して整理すると 622=10-k?
よって, 10-k2 は6の倍数, かつ 10-k>0
以上から(x, y)3(12, 6)
のとおく。
よって, x=6k (kは正の整数) と表される。
ゆえに y=6(10-k?)
.2
ゆえに k=2
このとき
22-16n+28 が素数となるような自然数nをすべベて求めよ。
(解説)
N=n?-16n+28 とすると
N=(n-2)(n-14)
40
n-14=1 または n-2=-1
n-2,n-14 は同符号であり, n-14<n-2 より
[1] n-14=1のとき
このとき, n-2=13 から N=13 となり, 適する。
[2] n-2=-1のとき
このとき, n-14=-13 から N==13 となり, 適する。
2=15
n=1
[1], [2] から, 求める nの値は
n=1, 15
