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(2) (2)
=2(cos'x+cos'y-1)
(右辺)2(cosxcosy-sinxsiny) (cosxcosy+sinxsiny)
よって
=2((cos.xcos y)-(sin xsin y)2)
=2(cos"xcos'y-sin"xsin'y)
=2{cos xcos'y-(1-cos'x) (1-cos'y))
=2(cos'xcos'y-1+cos x+cosy-cosxcos'y}
=2(cos"x+cos'y-1)
(左辺) (右辺)
加法定理より
cos (A+B)=cos A cos B-sin Asin B
cos (A-B) cos A cos B+sin A sin B
辺々加える
cos (A+B)+cos (A-B)=2cos A cos B
A+B=2x, A-B=2y とすると, A=x+y, B=x-y_
であるから
cos2x+cos2y=2cos (x+y) cos (x-y)
(3)(2)の等式から cos2a+cos2β=2cos (a+B) cos (a-B)
(1)の結果を代入して
59
cos2a+ cos2β=- 36 cos (α+B) ③
①-②から
(cos'a-sin'a)+2(cosacos β-sinasinβ)
cos2s
cozy
①と②の姿をとる。
(√3 sin 2x + cos2x)+4+b
(a-b)sin(2x+2)+a+b
>もよりb>0であるから
30-
(x)の最大値は
f(x) の最小値は
a-b+a+b
2
三角関数の合成
-1sin(2x+4)=1
f(x)が最大となるのは
3a-b
2
2
-(a-b)+a+ba+3b
2
6,432 となるとき
sin (2x+4 -1のとき
/(x)が最小となるのは
3a-b=12, -α+3b-4
これを解いて
(2) (1)の結果から
f(x)>5 とすると
0x のとき
よって、 ①から
a=5,b=3 (a b を満たす)
(x)=2sin(x+1)+4
sin(2x+)>
≤2x+7=137
<2x+<*
0<x<
min (2x+4)-1のとき
....... ①
xから
したがって
0=2x2x
+(cos'β-sin'β)=5
36
すなわち
cos2a+cos2β+2cos(α+B)=5
利用できる。
cos'a sin'a-
cos B-sin 8-
36
③ を代入して
59
36
cos(a+B)+2cos (α+B)=5
36
よって
13
36
-cos(α+B)=
5
36
ゆえに
cos(α+B)=
13
ゆえに、求めるxの範囲は
127 <三角関数と3次方程式)
(2) cost = x とおくと cos3t, cos 4t はそれぞれxの3次式, 4次式
(1)の等式を利用
(3) (2)から,解と係数の関係を利用する。
(1)70=360°より
よって
30+40=360°
cos30=cos (360°-40)=cos40
(2) cost cos4t ……… ① とする。
(1) から, t=0 は ①を満たす。
126 <sinx, cosxの2次式で表される関数の最大値・最小値>
(1) と同様にして 20=
720°
7
1080°
30=
は
7
sin2x
sinxcosx=
2sin2x=.
1-cos 2x
から、
(1) cos'x=
1+cos2x
2
sin2x, cos2x の式に変形
三角関数の合成 が利用できる
(1)/(x)=acos'x+√3 (a-b)cosxsinx+bsin'x
7・20=720°, 7・30=1080°
であるから
cos 3(20) = cos 4(20). cos 3(30) cos 4(30)
を満たす。 よって, t = 20, 30 も①を満たす。
cost =x とおくと
cos3t=4cost-3cost=4x-3x
cos4t=2cos22t-1=2(2cos't-1)2-1
=2(2x-1)^-1=2(4x-4x2+1)-1=8x-8x²+1
=a⋅
1+cos2x
2
2
+ (a-b) sin2x+b..
1-cos 2x
2
(a-b)sin2x+
(a-b)cos2x+
a+b
よって、 ①から
2
ゆえに
4x3-3x=8x-8x2+1
8x4x8x2+3.x + 1 = 0
+cos(a+360xn)-
cos(-a) cosa
α20 とすると
3g+4g=720
よって
(nl
cos 3a cos (720
-cos4a
830 とすると
38+48=1080"
よって
cos 3ẞ cos (108
cos 4,8
cos 4t cos 2(2)
98
数学重要問題集(文系)
左辺を因数分解して (x-1) (8x+4x²-4x-1)=0
数学重要問題集 (
126. <sinx, cosxの2次式で表される関数の最大値・最小値>
a bを定数とし, α > b を満たすものとする。
f(x)=acosx+√3 (a-b) cosxsinx+bsin x
とするとき 次の問いに答えよ。
(1) f(x) の最大値が6, 最小値が2となるときのα bを求めよ。
(2) (1) で求めた a, b に対して, f(x) を考える。 0≦x≦πのとき、f(x)>5 となる
の範囲を求めよ。
[09 熊本大教育、
127. <三角関数と3次方程式〉
360°
0=
7
とするとき 次の問いに答えよ。
発展問
山海斗
(1) Co530 cos 40 であることを示せ。
(2) cos 0, cos 20, cos 30が解となるような, 係数がすべて整数であるxの3次方程式
を求めよ。
(3)(1+4cos'0)(1+4cos220)(1+4cos'30) を求めよ。
【横浜国大・経営 (
