3 定積分関数/区間固定型 ——
0以上の実数aに対して,I(a)=faldr とおく。
(1) a≧1のとき, I (α) を求めよ.
(2) 0≦a≦1 のとき, I (α) を求めよ.
(3) I (α) の最小値を求めよ.
(神戸大文系-後/一部変更)
積分変数以外は定数
積分計算において,積分変数 (dr と書いてあったらェ) 以外は定数である.
Sュー☆ではaは定数つまりS|-4|dr [a=2の場合] のようなものだと思って,
O2と同様に絶対値をはずして計算すればよい。 αの値を決めるごとに☆の値が決まる,ということが
理解できれば 「☆はαの関数意味でI(α) と書いてある」こともわかるだろう.
解答
1(a) = f (a²-r²) dr-[4-3³]
(1) 4≧1のとき,0≦x≦1でrd'≦0 だから
dx=
y=(x+a)(x)
T
Y y=x²-a² <y=x²-a² l£x=ax
=a²-
1
3
気をつける
01 a/
だから,
(2) O≦a≦1のとき|r-q2}={a°」? (O≦x≦a) y=x-a
lx²-a² (a≤x≤1)
YA
y=x²-a²
1(a)=√ª (a² — r²) dx + f (x²-a²) dx
0
1
48
=
x³ a
3
3 14
+a2x·
3
a3
4
3
1
3
るので, x=αが積分区間
x=0~1に含まれるかどうか (つ
まり, 0≦a≦1かどうか)で場合
わけをする.この例題では≧1,
0≦a≦1 が与えられているが,こ
の場合わけは自力でできるよう
にしておきたい。
(
←第2項の積分区間の上端と下端
を入れかえ、被積分関数を -1倍.
(220) (1)
(S232 \)
(3) a≧1のとき,(1)よりI (α) は増加する.
0≦a≦1のとき,(2)よりI'(α)=4a2-2a=2a (2a-1) であるから,
増減は右表のようになる. よって, 求める
a 0
I'(a)
最小値は
1(1/2)
41 1 1
2-3+4
+ =
38 4 3
12
I(a)
1/2
1
+
0
4
-
(2)\
