問
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51 数列 関数の極限
数列{an) は, a1= 1/2, (n+2)an+1=nan (n=1, 2, ...) をみたしてい
る.
(1)一般項 an をnで表せ.
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(2) Sh=ak nで表せ .
k=1
(3) im (S)" を求めよ. ただし, lim (1+1/2) -
→∞
n→∞
=e を用いてよい.
典型的な極限の問題です.
精講
(1)は数学Bの範囲ですが, 漸化式のなかでは,難しいほうに入りま
す. (IIB ベクの基礎問では扱っていません。)
そこで,次のパターンを覚えておくとよいでしょう.
〈an+1=f(n)an (f(n): 分数式) 型漸化式の解き方〉
ak+1
ak
+1=f(k) として,kに 1,2,…, n-1 を代入して辺々かける. (ただし, n≧2)
(3)のただしがきにある
「lim
lim (1+1/2) =e」 は受験生が正しく使えない公式の
n→∞
n
代表格ですが,大切な公式です. 使い方にコツがあります. ポイントをよくみ
てください
解
答
(1) (n+2)an+1= nan より
ak+1 k
==
ak k+2
k=1,2, ..., n-1 を代入して,辺々かけると
n≧2 のとき,
ae
do
an 123
An-1 345
n-2n-1
n
(かけ終わり) ≧
(かけ初め)
より, n-1≧1
これからn≧2
◆辺々かける
n+1
a1 a₂
an.
2
=
よって, an=-
a1 n(n+1)
これは, n=1のときも含むので,
n(n+1)(21=1/12より)
