例題 240 4次関数
★★★☆
関数f(x)=x4+x-3x-kx+1 が極大値と極小値をもつような定数 k
の値の範囲を求めよ。
思考プロセス
定義に戻る
4次関数 f(x) が
/極大値)
をもつ。
その前後で(f(x)
|f'(x) = 0 となるx が存在し,
(f'(x) が正から負
に変わる。
極小値
f'(x)が負から正
f(x)=0が3次方程式であるから,例題225のように判別式は利用できない。
«R Action 方程式 f(x)=kの実数解は,y=f(x)のグラフと直線 y=kの共有点を調べよ 例題 237
解 f'(x) = 4x3+3x2-6x-k
関数 f(x) が極大値と極小値をもつための条件は、
f'(x) = 0 となり,かつその前後でf'(x) が負から正およ
び正から負に変わる x が存在することである。
このとき,g(x)=4x3+3x2-6x とおくと,
237
曲線y = g(x) と直線 y=kの上下が2度入れかわるか
ら, 曲線 y=g(x) と直線 y=kは異なる3つの共有点
をもつ。
g'(x) = 12x2+6x-6
(
負から正に変わるxで極
小, 正から負に変わるx
製造で極大となる。
f'(x)=g(x)k の正負
を曲線 y=g(x)と直線
y=kの上下から考える。
y=g(x)
y
=6(2x-1)(x+1)
g'(x) = 0 とすると
x = -1.1/23
k
y=k
a
7 X
YA
y=g(x)
15
よって,g(x)の増減表は次のようになる。
x
...
・1
g'(x) + 0
120
7
g(x)>
5
...
+
4
→
y=g(x) のグラフは右の図のよう
になるから, 求めるんの値の範囲は
<k<5
4
y=k
12-
1074
x
g(x)の符号
上の図より, f(x) は
x = αのとき極小
x=βのとき極大となる。
g(x)=4.x+3x2-6x-k
とおくと
(=f'(x))
g'(x)=0のとき
-1,
であるから
(-1)(1/2) <0より
の値の範囲を求めてもよ
い