「水の
2
基本 例題 63
(1) 最大値を求めよ。
は正の定数とする。 x における関数 f(x)=x2-4x+5
(2.1)
定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小
000
(2) 最小値を求めよ。
について
(1)定義域 0≦x≦aの中央の値はである。
[1]
p.107 基本事項 2
[1] 0<<2 すなわち 0<a<4
のとき
最大
図 [1] から, x=0で最大となる。
最大値は f(0)=5
CHART & SOLUTION
定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
定義域が0≦x≦a である
から文字αの値が増加する
と定義域の右端が動いて,x
の変域が広がっていく。
したがって,αの値によって,
最大値と最小値をとるxの
x=0x=a
値が変わるので場合分けが必要となる。
x=0
x=a
x=2
軸
軸
区間の
右端が
動く
区間の
右端が
動く
[2]11/12 すなわち a=4 のとき
図 [2] から, x=0, 4 で最大となる。
最大値は
f(0)=f(4)=5
[2]
最大
最大
x=0
x=a
x=0
(1) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値は
きい (p.110 INFORMATION 参照)。
よって、定義域 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくなる(軸が定義域の中央に、
致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。
[1] 軸が定義域の
中央より右
[3] 軸が定義域の
定義域の両
[2] 軸が定義域の
中央に一致
軸
端から軸ま
での距離が
等しいとき
中央より左
「軸」
最大
1
最大
最大
最大
定義域
定義域
の中央
の中央
定義域
の中央
_2) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0≦x≦α に含まれてい
れば頂点で最小となる。 よって、軸が定義域 0≦x≦a に含まれるか含まれないかで場合
分けをする。
[4]
[5]
軸が定義域
軸が定義域
の外
の内
最小
最小
答
■)=x2-4x+5=(x-2)2+1
基本形に変形。
関数のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2である。
x=0
x=4
[3] 21 すなわち 4<a のとき
図 [3] から, x=α で最大となる。
最大値は f(a)=a2-4a+5
[3]
最大
[1]~[3]から
113
[1]軸が定義域の中央
x=1/23より右にあるか
5.x=0 の方が軸より
遠い。
よってf(0)>f(a)
[2]軸が定義域の中央
x=1/2に一致するから、
軸とx=0,α(=4) との
距離が等しい。
よってf(0)=f(a)
最大値をとるxの値が
2つあるので, その2つ
の値を答える。
[3]軸が定義域の中央
x = 1/2 より左にあるか
ら、x=αの方が軸より
遠い。
よってf(0) <f(a)
◆答えを最後にまとめて
0<a< 4 のとき x=0 で最大値 5
a=4 のとき x = 0, 4 で最大値5
α>4 のとき
x=αで最大値α-4a+5
x=0
x=a
x=2x=1/2
(2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。
|軸
[4]軸が定義域の右外にあ
るから、軸に近い定義域
の右端で最小となる。
[4] 0<a<2 のとき
[4]
図 [4] から, x=αで最小となる。
最小値は f(a)=α-4a+5
[5] 2≦a のとき
･最小
[5] 軸が定義域内にあるか
x=a
図 [5] から, x=2で最小となる。
最小値は
ら、頂点で最小となる。
x=0
x=2
f(2)=1
[5]
[4],[5] から
0<a<2 のとき
x=αで最小値 α-4a+5
答えを最後にまとめて
。
最小
a≧2 のとき x=2で最小値1
x=0x=21 x=a
PRACTICE 63
③
αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=-x+6x について
(2) 最小値を求めよ。
(1) 最大値を求めよ。
3
8
