赤線のとこでなぜ11を初項としてそのまま等比数列を行ってはいけないのかがわかりません、12を初項にするよう導いた理由を教えてください🙇‍♂️

3 漸化式と数学的帰納法 例題 286 漸化式 anti = pantf(n) (カ≠1) ** [Check] ai=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an} の一般項an を求 めよ. 507 8 考え方 1 [解1 漸化式 αn+1=3an+2n+3 において, n を1つ先に進めてα+2 と α+1 に関 する関係式を作り、引いて, {an+1-αn) に関する漸化式を導く. 2 αに加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより, {an+pn+g}が等比数列になるようにする. an+2=3an+1+2(n+1)+3 an+1=3an+2n+3 ..... ････①より、 ② ② ①より, an+2-an+1=3(an+1-an) +2 より bn=an+1-an とおくと, bn+1=36+2, b=a-a=2a+2+3=11 bn+1+1=3(6n+1) b1+1=12 したがって、数列{bn+1} は初項12, 公比3の等比数列 だから, bn+1=12.3-1=4・3" bn=4.3"-1 n-1 an=a+b=3+Σ(4.3-1) n-1 n≧2のとき, k=1 k=1 =3+ 12(3-1-1)(n-1) 3-1-(n-1) =6.31-n-2=2・3"-n-2 数 ②は①のnn+1 列 を代入したもの 差を作り, nを消去 する。 ①より, a2=3a1+2+3=14 α=3α+2 より α=-1 4・3=4・3・3-1 =12.3-1 ,01 1 より、 *+。 初項12,公比3 6・3-1=2・3・37-1 =2.3" n=1のとき, α=2・3'-1-2=3より成り立つ. n=1のときを確認 よって an=2.3"-n-2 2 p, gを定数とし, an+1+p(n+1)+g=3(an+pn+g) とおくと, an+1=3an+2pn+2g-p an+1+pn+p+q もとの漸化式と比較して, 2p = 2, 2gp=3より, か=1,g=2=3an+3pn+3q よ り,an+1=3an+2pn したがって, an+1+(n+1)+2=3(an+n+2), a1+1+2=6 ww M +2q-p Focus より,数列{an+n+2}は初項6,公比3の等比数列+ よって, an+n+2=6・3" '=23”より an=2.3"-n-2 a=3 階差数列を利用して考える 例題285(6505)のように例題286でも特性方程式を使うと=3+2+3より

？？が書いてあるところがなぜこのように式変形できるのかわかりません。もともとn >＝2のときでやっていたにも関わらず、なぜいきなりn >＝1にしてしまっていいのですか？もちろんanのn→n+1になっていることはわかります。

基礎問 730 128 和と一般項 12/28 12/29 1/10 22173/281729 (3)DVER 数列{an} の初項から第n項までの和 Sn が Sn=-6+2n-an (n≧1) で表されている. (1) 初項 α1 を求めよ. (2) an と an+1 のみたす関係式を求めよ. (3) anをnで表せ. 数列{an} があって, 精講 a1+a2+…+an=Sn とおいたとき,an と S” がまざった漸化式がでてくることがありま す. このときには次の2つの方針があります. I. α の漸化式にして, an をn で表す II.Sの漸化式にして, Sn をnで表し, an をnで表す このとき,I, II どちらの場合でも次の公式が使われます. n≧2 のとき, αn=Sn-Sn-1, a=S1 (n=1のときが別扱いになっている点に注意 ) 解答 Sn=-6+2n-an (n≧1) (1) ① に n=1 を代入して, S=-6+2-α1 a = S だから, a1=-6+2-α1, 2a1=-4 a1=-2 (2) n≧2 のとき,①より, Sn-1=-6+2(n-1)-an-1 .. Sn1 =2n-8-an-1 ① ② より, 2 (15) .... Sn-Sn-1=2-an+an-1 :.an=2-an+an-1 (E) 1 an=1/21an-1+α(≧2) 197 よって, an+1= = 1/2 an+1 (21) ??. (別解) ①より,S,+1=-6+(n+tax+1 ②① より, Sn+1-Sn=2-an+1+an an+1=2-an+1+an : an+1= =1/21an+1 より an+1-2=1/2(an-2) (3) an+1= また, α-2=-4 だから, an-2-(-4)() .. an-2-24-1-2-21-3 1 2an+1 <a=1/24+1の解 α=2を利用し an+1-α= と変形 ポイント (すなわ のからんだ漸化式からΣ記号を消 ) したいとき,番号をずらしてひけばよい 注ポイントに書いてあることは,に書いてある公式を日本語で表した ものです。このような表現にしたのは,実際の入試問題はの公式の形 で出題されないことがあるからです。 (演習問題 128 (2)) 演習問題 128 <Sn-Sn-1=an (1) 数列{az} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす. S1=1, Sn+1-3S=n+1 (n≧1) (i) S を求めよ. (ii) a を求めよ. (2) a1= 1, kanan (n≧1) をみたす数列{an} について, k=1 の問いに答えよ. (i) an In を an-1 (n≧2) で表せ. (ii) a n を求めよ.

ピンクの四角で囲ってあるところですが、 なぜ2^n-1になるのでしょうか。 私は2×n-1 だと思いました

332- 練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列 ③ 30 1 1 3 1 3 57 1 3 5 15 8 2'4'4'8'8 8'16'16' 16 16'32' × について,第1項から第100項までの和を求めよ。 類 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 31 3 11 24' 48'8'8 5 7 1 3 5 816'16'16' 15 1 16325 第k群には 2-1 個の項があるから, 第1群から第n群までの (2) 21 項の総数は 1+2+2+････ +2n-1= 2"-1 2-1 (S++) =2"-1 ←初項1,公比2, 項数n C 第100項が第n群の項であるとすると 等比数列の和。 い AUTUR 2-1-1<100≦2"-1 ...... ① 練 2-1-1は単調に増加し, 26-1=63, 2′-1=127 であるから, ①を満たす自然数 n は n=7 第6群の末項が第63項となるから 100-63=37 したがって,第100項は第7群の第37項である。 ここで,第n群の項の和は 3 (1) ←2°-1=63 1 2n -{1+3+ + (2"-1】 • 2” 2 =27-2 •2"-1{1+(2"-1)} ← 第群の分子の m 和で,初項 1, 末項 2"-1. 更に、各群の番目の項の分子は2k-1である。 よって, 求める和は {(-)項数 2"-1 等差数列の乱 ←1+(k-1)・2=2k-1 6 22-2+ 1 k=1 27 {1+3+....+(2・37-1)} k=1 2 k=1 (L = 126-1 1 . 2 2-1 128 + •63+ 2 = 11/163+ 128 128 1369 ・372 5401 ←1+3+5+...... +(2n-1)=n²

共テ数学IIBCの数列の問題です。1枚目が解答で2枚目が問題なのですが、赤線のところの変形がわかりません。その一個前からなにをしてるかがよくわからないのでそれ含め教えてください🙇

第4問 数列 (1) 数列{a} の初項をα, 公差をdとすると, 第3項が5であるから a+2d=5 3 A 第9項が17であるから a+8d 17 4 3, a = 1, d=2 よって an 1+(n-1).2 an = 2n-1 また, 数列{6} は公比が3で,初項b1から第4項までの和が40であるか bi(34-1) =40 3-1 B 40b₁ = 40 b₁ = 1 よって b=3"-1 C n≧2のとき Sn = a1b1+anbr k=2 n-1 =ab₁+a+b+1 (4) 3Sn=3arb=arbu+1 D n-1 = abu+i+ab+1 (3) -... n- -2Sn = a1b1+ (ax+1-an) bk+1—Anbn+1 k=1 n-1 = a1b₁+2b+1-anbn+1 n-1 =a1b1+2.3bk-anbn+1 k=1 よって =ab₁+6b-anba+ n-l -2S,=1.1+6.3k−1— (2n−1)·3″ k=1 6(3-1-1) E 100 -2S = 1+ -(2n-1).3" B 3-1

（3）がなぜaが0以下の範囲だと断定できるのかがわかりません そして、その後なぜ数列を使って求めるのかもよくわかりません 教えてください

[II] 数列{an} は,a =-13, an+1 = an+ 次の各問に答えよ。 29 n-3 (n=1,2,3, ･･･) を満たしている n- カキと表せる。 ア ウエ (1) 数列{a} の一般項は, an= n² イ オ クケコ (2) αの最小値は、 である。 サ シスセソ (3) ak の最小値は, である。 タ 又

教えてください🙏

問3 実数を係数とする3次方程式 x+ax2+bx+3=0が1+√2i を解にもつとき、次の値を 求めなさい。 (1) a,b の値 (2) 他の2つの解 問4a1=0,an+1=4a„-2"+1で定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。 n (難) 問5 {a} を初項27、公比 √3 の等比数列とするとき、 10gzak を求めよ。 k=1

数列の問題です。 (4)の問題で、一般項を求める際に 分母は∑を使っているのに分子は等差数列の一般項を求める公式を使っているのは何故ですか？ ∑=和だと思うのですが、分子も和の公式に揃える必要は無いのでしょうか？ よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

p.518 | Let's Try! 17[ (1) 次の各数列の一般項am と, 初項から第n項までの和 Sm をそれぞれ求めよ。 (1) 12.4, 22.5, 32.6, 42.7, 52.8, (2)1,4,9,19, 37, 66, 109, ... 1+2 1 1 +2 +22 1 +2 +22 + 2 1 +2 ++22 +2 + 24 (3) 3 32, 34 35 3 5 7 9 (4) 11 112+2°'12+2° + 32 '12 + 2° +32 + 42 '12 + 2° + 3° + 4 + 52, (1) an=n(n+3) n n Σ Σ 15 Sn = an = (k³ +3k²) = k³+3k² k=1 k=1 k=1 -{1/(x+1)}+3.1/n(n+1)(2n+1) k=1 (I=n) (SS) この数列の各項は2つの 数の積であり、左側の数 は初項 1, 公差1の等差 数列の各項の2乗で - 一般項は,右側の数は初 4. 公差1の等差数列 で, 一般項はn+3であ z

階差数列の問題です。 それぞれの式が何を表しているのかがわからないので説明がほしいです。 また、できれば解く流れを言葉で説明していただけるととても嬉しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

思考プロセス 例題 286 階差数列[2] 次の数列の一般項を求めよ。 3,5,8, 14, 25, 43, 70, 108, 159, 規則性を見つける Re Action 規則性が分かりにくい数列は,階差数列を考えよ 例題285 規則性が分かりにくい {an} 3, 5, 8, 14, 25, 43, ... -1 an = a+bk k=1 n-1 bn=b₁+Σck k=1 階差( {bm}: 2 3 6 11 18 → Ck さらに 階差 {cm}: 1 3 5 7 規則性が分かる Cn ⇒ cn = □ Action » 規則性が分かりにくい階差数列は,さらに階差を考えよ 解 与えられた数列を {an}とし, {an}の階差数列を {bm}, {bm} の階差数列を {c} とすると {a}: 3, 5, 8, 14, 25, 43, 70, 108, 159, {c} {a}の第2階 数列という。 階差数列{6}の規則性が 分かりにくいときは らに{6}の階差数列をと る。 -)+(-)-9 {6}:2,3,6, 11, 18, 27, 38, 151, {C}: 1,3,5,7,9, 11, 13, {C} は,初項1, 公差2の等差数列であるから Cn=1+(n-1) ・2=2n-1 よって, n≧2のとき n-1 bm=by + c =2+2(2k-1) k=1 k=1 =2+2=(n-1)n-(n-1) =n2-2n+3 1.81 Erg n=1 を代入すると2となり, 61 に一致する。 +g=b1=2 ゆえに, n≧2 のとき n- an=a1+2bk=3+ (k²-2k+3) 1-8 +1= k=1 (n-1){(n-1)+1) Bbn=n²-2n+3 n=1のときも成り立つ か確認する。 k=1 =3+1/2 (n-1)n(n-1)-2.11(n-1)n+3(n-1) == 6 n(2n²-9n+25) n=1 を代入すると3となり,αに一致する。 したがって an = n(2n²-9n+25) 2e k=1 = 1 Dan = n(2n-9n+25) がn=1のときも成り 立つか確認する。

この問題の解説を解説して欲しいです。 お願いします。

題 B1.8 既約分数の和 **** pは素数,m,nは正の整数でm<nとするとnの間にあって、か を分母とする既約分数の総和を求めよ (同志社大) 考え方 具体的な数で考えてみる.たとえば, 2と4の間 (2以上4以下)にあって, 5を分母と する数は, 10(-2). 11. 12 13 14 15 (-3), 16 17 18 19 20 (=4) 5' 10 5 5'5'5'5'5 つまり、2.2+1/32+2/2 5' 2+1gとなり、初項2.公差 1/3の等差数列になって いる. 項数は分子に着目して11 (=20-10+1) 個である. 第8章 これらの和を求めて、そのうち既約分数にならないもの(整数)を引くとよい。 解答 m以上n以下でp を分母とする数は, 0 mp P(=m), mp+1 mp+2 np-1 np P(=n) まずはすべての分数の 和を求める. つまり、初項m 公差 等差数列となる. 公差の等差数列 Þ 項数 np - mp +1,末項nであるから,その和 S, は, S=1/2(np-mp+1)(m+m) ・① 5 また、このうち, 既約分数でない数は整数であるから, m,m+1,m+2, .....,n-1n つまり、初項m, 公差1の等差数列となる. 項数 n-m+1, 末項nであるから,その和 S2 は, 項数をkとすると, n=m+(k-1)より。 Þ k= (n-m)p+1 だから, S₁ = {(nm)p+1} x(m+n) S2=1/2(n-m+1)(m+m) 2 よって、 求める和をSとすると,①,②より, ((株)(1) <S=1/2 (np-mp+1)(m+m)-1/2(n-m+1)(m+n) (m+n)(np-mp+1-n+m-1) =1/2(m+n)(n-m)(p-1) 具体的な数で調べて規則性をみつける 素数を分母とする真分数の和は, 1 2 p + としてもよい。 分母が素数であるから, 既約分数でないものは mからnまでの整数に なる. 項数n-(m-1) S から S2 を引けば, 既約分数の総和となる. S=S-S2 p-1_1+2++(p-1) + + p p Þ =1/2(1-1) M とするとnの間にあって5を分母とするすべての 求め上 (富山大) Focus 注

数列の問題です。 以上のことから〜以降で 自然数の組()が何を表しているのか その後の＝で繋がっているところ(5、808など) が何を表しているのか、どう計算したらそのようになるのか がわからないので解説がほしいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

p.495 Let's Try! 16 (1) 自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える。 例えば, 42は 42 = 3 +4 +5 +6 +7 + 8+ 9 のように7個の連続する自然数の和で表すことができる。 2020を2 個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ。 ( 横浜国立大) 1/2を消すため、 と, Sは初項m, 公差 1, 項数nの等差数列の和であるから 自然数mから始まる連続するn個 (n≧2) の自然数の和をSとおく S=1/2n{2m+(n-1)1}=1/21n(2m+n-1) ここで S = 2020 とおくと 初項 α, 公差 d, 項数 n の 等差数列の和は n{2a + (n-1)d} 42S=n(2m+n-1)=4040 = 23・5・101 ... ① 4040 を素因数分解して考 m, n は自然数であるから, 2m+n-1も自然数であり、 nが偶数のときは2m+n-1は奇数, 2mは常に偶数だから える。2920は偶数 2コ以上 以上のことから, ①を満たす自然数の組 (n, 2m+n-1) は (n, 2m+n-1) = (5, 808), (8, 505), (40, 101) nが奇数のときは2m+n-1は偶数となる。nによって変わる さらに,2m+n-1=n+(2m-1)>n より 2\n<2m+n-17 →○+△…=偶数 と2m+n-1は一方が 偶数, 他方が奇数となる。 奇数は5,101,505 476 ゆえに、 求める自然数の組 (m,n) は (m, n) = (402, 5), (249, 8), (31, 40) したがって, 2020 を連続する自然数の和で表す表し方は全部で3通り