基本例題 40 万有引力による位置エネルギー
203,204 解説動画
地球の表面から速さで鉛直上方に物体を発射したとき、 到達する最大の
高さんを考える。地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1) 万有引力による位置エネルギーを考え,vo を g, R, hで表せ。
tvo
(2) hが尺に比べて十分に小さいときはどのように表されるか。
(3) voを大きくすると、物体は地球上にもどらなくなる。このとき,
はいくら以上にすればよいか。 g, Rで表せ。
mv²+(-GMm)=0+(-GR
12mu=GMmGMm
=
R
R+h
R
GMm(1 R
ここでCM=gR2 より 1/12mv=gR2.m
指針 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので,「GM=gR2」を用いて
g, Rで表す。
(1)物体の質量をmとする。 力学的エネルギー保存則より
m) (G: 万有引力定数, M:地球の質量)
GMmR+h-R_GMm
h
R+h - R R+h
よって Do R+h
2gRh
=
R+h
R
h
R R+h
(2)んが尺に比べて十分に小さいとき,より
(3) 地球上にもどらないようにするには,んが無限遠であればよい。
2gRh
2gh
Vo=
=
≒√2gh
R+h
h
1+
R
このとき,
より
2gRh
vo=VR+h
2gR
=
≒√2gR
R
・+1
h