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108 面積 (V)
放物線 y=x^-x+3 ①, y=x2-5x+11 ..... ②につい
て,次の問いに答えよ.
(1) ①,②の交点の座標を求めよ.
(2), n は実数とする. 直線 y=mx+n③ が① ② の両
方に接するとき,m, nの値を求めよ.
(3) ① ② ③で囲まれた部分の面積Sを求めよ.
y-(t-t+3)=(2t-1)(x-t)
..y=(2t-1)x-t2+3
これは,②にも接しているので
2-5x+11=(2t-1)x-t+3
より2-2(t+2)x+t2+8=0
の判別式をDとすると,2=(t+2)-(+8)=0
α p
∴. 4t-4=0
.
S
-C
よって, ① ② の両方に接する直線は, y=x+2
精講
(2)89 によると, 共通接線には2つの形があります。
(3) 図をかいてみるとわかりますが,面積を2つに分けて求める必
要があります.それは,上側から下側をひくとき ( 105 ),上側の
式が2種類あるからです.
解 答
(1) ①,②より,yを消去して
r-r+3=r5r+11
.. 4x=8
: x=2 このとき, y=5
よって, ①,②の交点は (25)
(2)(i) ①、③が接するとき
x²-x+3=mx+n より x2-(m+1)x+3-n=0
判別式を D1 とすると, D1= (m+1)2-4(3-n)=0
.. m²+2m+4n-11=0 ...... ④
(ii) ② ③ が接するとき
x2-5x+11=mx+n より x2-(m+5)x+11-n=0
判別式を D2 とすると, D2 = (m+5)2-4(11-n)=0
∴.m² +10m+4n-19=0 .....⑤
④ ⑤ より -8m+8=0 ... m=1
.. m=1n=2
(3)Sは右図の色の部分.
..
S=∫{(x-x+3)-(x+2)}dx<面積を
+∫{(x-5x+11)-(x+2)}dr
y
分ける
|5
r-3)2dr
......
= √²(x−1)²dx+f*(x−
(*)
123
x
2
=113 (1-1)]+[1/3 (1-3)]-1+1=3
(*) で定積分する関数が完全平方式になるのは当然です。
105の
を見てください。
「上にある式一下にある式」 という計算は、2つの式を連立させてy を
消去する作業と同じことをしているので, 交点のx座標がかくれてい
ることになります. ①と③の交点が, x=1 (重解) だから,
「上にある式一下にある式」 =(x-1) 2 となるのは当然です.
ポイント
上にある式や下にある式が積分の範囲の途中で変わる
ときは,面積はそこで分けて考える
④より, n=2
m=1, n=2
(別解) ( 85 の考え方で......)
①上の点(t, t-t+3) における接線は
演習問題 108
曲線 y=x^2-6x+4 ...... ① について, 次の問いに答えよ.
(1) 原点から ①に引いた2本の接線の方程式を求めよ.
