26 漸化式と極限(3) ・・・ 分数形
...
数列{an} が α1=3, An+1=
3an-4
an-1
によって定められるとき
[類 東京女子大]
(1) bn
=
1
An-2
とおくとき, bn+1, bn の関係式を求めよ。
(2) 数列{an} の一般項を求めよ。 (3) liman を求めよ。
n→∞
p.36 まとめ, 基本 26
指針
針 (1) おき換えの式bm=
1
an-2
①の an-2に注目。 漸化式から
bn+1 (=
1
an+1-2
の形を作り出すために, 漸化式の両辺から2を引いてみる。
なお,①のおき換えが与えられているから, an≠2としてよい。
(2) まず (1) の結果から一般項bnをnで表す。
(1) 漸化式から
an+1-2=
3an-4
解答
-2
an-1
検討
ゆえに
an-2
an+1-2=
an-1
両辺の逆数をとって
1
an-1
An+1-2
An-2
an+1=
SE
分数形の漸化式について
一般項を求める方法は,
p.36 の ⑥参照。
rants
panta
そのとき,特
1
1
よって
=
+1
an+1-2
an-2
性方程式 x=
rxts
の解
px+q
したがって bn+1=6n+1
がx=α (重解)ならば,
(2) (1)より, 数列 {bn} は初項b1=1, 公差1の等差数列で bm=
あるから b=1+(n-1)・1=n
1
(または
an-a
bn=an-a) とおくと,
よってie
an-
(3) liman=lim
n→∞
n-
1
1
+2=-+2
=
1
bn
+2=2
-2)=
n
$8
般項 αn が求められる。
CTUL 1
|bn=
an-2
から
-milan- -2=
1
bn
