重要 例題 122 2 変数関数の最大・最小 ( 4 )
203
実数x,yが x+y2=2 を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
| 求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。
[類 南山大 ] 基本 101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文
字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=t とおき, tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
←
2x+y=t を y=t-2xと変形し, x2+y2=2に代入してyを消
去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
見方をか
CHART 最大 最小 = tとおいて、 実数解をもつ条件利用
3章
13
12次不等式
2x+y=t とおくと
y=t-2x
①
解答
これをx2+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)2=2
整理すると
5x2 -4tx+t2-2=0
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための
条件は,②の判別式をDとすると D≧0
参考実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
(+7)=gツの不等式)。
(2)
COMO
(ax+by)≤(a²+b²)(x²+y²)
ここで
D=(-2t)2-5(2-2)=(t-10)
[等号成立は ay=bx]
この不等式に a=2,b=1
ト) を代入することで解くこと
もできる。
D≧0 から
t2-10≤0
<x
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき,D=0 で, ②は重解 x = -4t=.
2t
を
のとき,②は
t=±√10
2.5 5
もつ。=±√10 のとき x=±
2√10
5
√10
①から
y=±
(複号同順)
5
x=±
210
10
よって
x=
y=
のとき最大値 10
5
5
x=-
また、
2/10
5
10
y=--
のとき最小値√10
5x2 +4√10x+8=0
よって<A
(√5x+2√2)²=0
ゆえに
2√2 2/10
=±
√5
① から y=± 5
(複号同順)
5
√10
5
としてもよい。
