重要 例題 165 2 次同次式の最大・最小
実数x,yx2+y'=1 を満たすとき, 3x²+2xy+y2の最大値は
指針
である。
①①①
最小値
基本 164
1文字を消去, 実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで,条件式
x2+y2=1は,原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。
→点(x, y) は単位円上にあるから,x=cosl, y=sing とおける (検討 参照)。
これを3x2+2xy+y2に代入すると, sind, coseの2次の同次式となる。よって,
後は前ページの基本例題164と同様に, に隠して合成の方針で進める。
x+y2=1であるから,x=cosl, v=sin6 (0≦0<2z) とお | 条件式がx2+y=r
解答
くことができる。
P=3x2+2xy+y2とすると
P=3cos20+2cos Osin0+ sin20
1+ cos 20
=3.
+sin 20+
1-cos 20
2
2
=sin 20+cos 20+2=√2 sin 20+
0≦0<2のとき, 20+
ゆえに
π
4
-1≦sin(20+
=√2 sin(20+4 +2
の形のときの最大・最
小問題では,左のよう
におくと, 比較的ら
に解答できることも
あるので、試してみ
とよい。
三角関数の合成。
π
<4+4であるから
4
in(20+ 7/7) ≤1
π
-√2+2≦√2 sin(20+zx) +2=√2+2
よって, Pの最大値は 2+√2, 最小値は 2-√2 である。
□Pが最大となるのは, sin (20+4)=1の場合であり,このとき20+オープ
すなわち 0
5
2' 2
π
π 9 である。これから,半角の公式と0+πの公式を用いて,最大値
8' 8
与える x, yの値が求められる (下の練習 165 参照)。
