熊本 100 直線に関する対称移動
直線x+y=1 に関して点Qと対称な点をPとする。 点Qが直線
x-2y+80 上を動くとき,点Pは直線 1上を動く。
CHART & SOLUTION
線対称 直線に関してPとQが対称
[1] 直線 PQ がに垂直
[[2] 線分 PQ の中点が上にある
基本 78.98
点Qが直線 x-2y+8=0 上を動くときの、直線 l x+y=1 に関して点Qと対称な点
Pの軌跡、と考える。つまり, Q(s,t) に連動する点P (x,y) の軌跡
→ s, tをxyで表す。
答
直線x-2y+8=0 ...... ①
上を動く点をQ(s, t) とし,
直線 x+y=1
[x,yだけの関係式を導く。
in 線対称な直線を求め
①
るには EXERCISES
71 (p.137) のような方法も
Q(s,t) あるが,左の解答で用いた
軌跡の考え方は、直線以外
の図形に対しても通用する。
に関して点Qと対称な点を
P(x, y) とする。
11
[1] 点PとQが一致しない
とき、直線PQが直線②
-8
01
x
/P(x,y)
に垂直であるから
=(-1)=-1 ...... ③
線分 PQ の中点が直線②上にあるから
垂直傾きの積が -1
上の2式の辺々を加え
ると
2s=2-2y
x+
y+1
...... 4
2
2
線分PQの中点の座標は
1x+s
③から
s-t=x-y ④から
s+t=2(x+y)
s, tについて解くと s=1-y, t=1-x ...... ⑤
また,点Qは直線 ①上の点であるから
s-2t+8=0 ...... ⑥
⑤ ⑥ に代入して
すなわち
(1-y)-2(1-x)+8=0
2x-y+7=0 ...... ⑦
[2] 点PQが一致するとき、点Pは直線①と②の交点
であるから x=-2,y=3
これは ⑦を満たす。
以上から、求める直線の方程式は 2x-y+7=0
辺々を引くと
-21=2x-2
s, tを消去する。
方程式 ①と②を連立
させて解く。