104 第2章 2次関数
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例題 44
最小値の最大・最小
xの関数f(x)=x2+3x+mのm≦x≦m+2 における最小値をgと
おく. 次の問いに答えよ.ただし, m は実数の定数とする.
(1) 最小値g をmを用いて表せ.
(2)
Ito (a)
の値がすべての実数を変化するとき, g の最小値を求めよ.
考え方 (1) 例題43と同様に考える.軸が定義域に含まれるかどうかで場合分けする。
(②2)(1)よりの値を1つ決めると,g の値がただ1つ決まる。よって,(1)で求めた!
をの関数とみなし,
解答 (1) f(x)=x2+3x+m=x+
グラフは下に凸で, 軸は直線x=-
3
(i) m+2<--
2
のとき
つまり,m<-17 のとき
2
3
(ii) m≤-- ≦m+2のとき
2
グラフは右の図のようになる最小
したがって, 最小値
mm+2
g=m-
g=m²+8m+10 (x=m+2)
(iii) m>--
つまり,172≦m≦-12/2のとき
グラフは右の図のようになる.
したがって, 最小値
>12/3 のとき
+m--
9
m-2 (x=-2)
4
グラフは右の図のようになる.
したがって, 最小値
(2) (1)より,gをmの関数とす
ると, グラフは右の図のよう
になる.
よって, g の最小値は,
g=m²+4m (x=m)
-6 (m=4のとき)
9
4
3
2
(i)
F4
最小
x=
7
2
11
最小
3
32
mm+2
3
2
||最小
mm+2
94 / (iii)
3
2
1 10 m
15
(ii) 4
(岐阜大改)
23
4
場合分けのポイント
は例題43 (1) と同様
21504
SB>I
m軸,g軸となるこ
とに注意する.
大量
Thi
仮
練習 xの関数 f(x)=2x2+3mx-2m の 0≦x≦1における最小値をgとするとき,
44 g をmを用いて表せ。 また, m の値がすべての実数を変化するとき,g の最大値
*** を求めよ.
