基礎問
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125 2 項間の漸化式(Ⅲ)
(1) an+2n=bm とおくとき, bn, bn+1 の間に成りたつ関係式を
a=1, an+1=3an+4n n≧1) で表される数列{an}がある.
求めよ.
(2) bm を求めよ.
|精講
(3) a を求めよ.
an+1=pan+gn+r (p≠1) ...･･･ ① 型の漸化式の解き方には次
3通りがあります。
1.an+an=b" とおいて, bn+1= pbn+g 型になるように, αを決める
II.an+an+β=bm とおいて, bn+1=rb 型になるように,α,βを決める
III. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r ...... ②
を用意して ②①を計算し,
an+1-a=b とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ
この問題では, I を要求していますので, II, IIIの解答はを見て下さい
解答
(1)a=b-2n, an+1=bn+1-2(n+1) だから これらを与式に代入して
bn+1-2(n+1)=3(bn-2n)+4n
∴.6+1=36+2
(2)+1=36+2 より bn+1+1=3(6n+1)
ゆえに、数列{bn+1} は,
an+1=pan+α型
1a=3+2 より
α=-1(124)
初項 b1+1=(a+2) + 1 = 4, 公比3の等比数列.
よって, bn+1=4・3n-1
∴.bm=4.3-1-1
(3) an=b-2n=4.3"-1-2n-1
参考
(その1) (IIの考え方で)
