どうして2の10乗－1になるのかわからないです、教えてください🙇‍♀️

重要 例題 135 n進法の応用 TOMER & COMES (1) 自然数 N を5進法, 7進法で表すと,それぞれ3桁の数 abc (5), cab (7) に (2) 2進法で表すと10桁となるような自然数は何個あるか。 [(2) 昭和女子大 ] なるという。このとき,α,b,cの値を求めよ。間 CHART & SOLUTION n進法で表された数 各位の数字はn-1以下 (1) abc (5), cab (7) をそれぞれ10進法で表して考える。 その際, a, b, cは4以下、かつα≠0, c≠0 であることに注意する。 p.476 基本事項 1 (2) n進法で表すと α桁となる自然数xについて,≦x<n が成り立つ。 また,m≦x≦n (m, n は整数)を満たす整数xの個数はn-m+1個である。 解答 (1) 3桁の数 abc (5), cab (7) を考えるから 1≤a≤4, 0≤b≤4, 1≤c≤4 N=abc(5)=cab (7) であるから 5000508 整理すると ゆえに 5 進数の各位は4以下, 最高位の数字は0でな ① い。 α・52+6・5'+c・5°=c・7+α・7+6・7 9a+26-24c=0 26=3(8c-3a) ② 10進法で統一して、等 しいとおく。 次の (1) (3) C (1 2と3は互いに素であるから, 6は3の倍数である。 よって, ① から b=0,3 [1] 6=0 のとき ②から3a=8c これと ①を満たす整数 α, cは存在しない。 [2] b=3 のとき これと ① から 以上により ②から 8c=3a+2 a=2,c=1 a=2,b=3,c=1 8c-3a は整数。 083と8は互いに素であ るから, αは8の倍数。 0=8+01 a+2≦14 であるか 58c=8 (2) 2進法で表すと10桁となるような自然数をxとすると 【別解 210-1≦x<210 すなわち 2°≦x<210 この不等式を満たす自然数xの個数は Ex) Jes 20≦x<210+1は誤り! ように (2-1)-2°+1=2"-2°=2°(2-1)=2°=512(個) 2°≦x≦2"-1 と考える。 2進法で表すと10桁となる自然数は, コロ(2)の□に0または1を入れた数であ るから 2°=512 (個) 01を9個並べる重複 順列 (基本例題 19 参照)。

bの計算についてです aが当たりを引いた場合は4/19、はずれを引いた場合は5/19の確率でbは当たりを引き、排反だから4/19+5/19と考えたのですがなぜだめなのでしょうか。

320 基本 例題 38 確率の加法定理 (順列) 20本のくじの中に当たりくじが5本ある。 このくじをa, b2人がこの順に、 1本ずつ1回だけ引くとき, a, b それぞれの当たる確率を求めよ。 ただし、 引いたくじはもとに戻さないものとする。 CHART & SOLUTION 同時に起きない 確率 P(AUB) A,Bが排反なら P(A)+P(B) bが当たる場合は,次の2つの事象に分かれる。 Baがはずれ,bは当たる Aa が当たり bも当たる よって、 事象A, B の関係(A∩B=Øかどうか)に注目する。 p.312 基本事項 3 解答 5 1 5P1 aが当たる確率は 20P1 20 4 次に, a, b2人がこの順にくじを1本ずつ引くとき, 起こり うるすべての場合の数は 20P2=380 (通り) このうち, b が当たる場合の数は A:a が当たり, bも当たる場合 5P2=20 (通り) a,bの前に並べる場合 の数。 2本のくじを取り出して B:a がはずれ, b が当たる場合 15×5=75 (通り) A,Bは互いに排反であるから, 確率の加法定理により, 基本例 袋の中 (1)白 (2) 同 CHAR 確率 P (2)(1) の関係 解答 9個の (1) よっ (2)同 の bが当たる確率は P(AUB)=P(A)+P(B)=380 20 75 95 1 A: + 1380 380 4 事象 A, B は同時に起 こらない。 B46 INFORMATION 当たりくじを引く確率は同じ 上の例題において,1本目が当たる確率と2本目が当たる確率はともに等しい。 一般に,当たりくじを引く確率は,引く順番に関係なく一定である。 また,引いたくじをもとに戻すものとすると, 1本目が当たる確率と2本目が当たる 確率はともに1である。したがって IN 上 当たりくじを引く確率は,引く順、もとに戻す、もとに戻さないに関係なく等しい。 り 例 白 PRACTICE 38 ずつ1回だけ引くとき, 次の確率を求めよ。 ただし, 引いたくじはもとに戻さないも 20本のくじの中に当たりくじが4本ある。 このくじをa, b, c3人がこの順に、1本 のとする。 (1) aが当たり,cも当たる確率 (2) aがはずれ, C が当たる確率 PR こま

(1)ですが、2個中1個は3/8の確率で出てもう1個は5/8の確率で出るからこのような式をたてたのですがなぜだめなのでしょうか？ またこのような式を使うのはどんな場合の時でしょうか？

318 基本 例題 36 組合せと確率 00000 は自然数とする。 白玉が5個, 赤玉がn個入った袋の中から,玉を同時に 2個取り出す。 (1) n=3 のとき,白玉と赤玉を1個ずつ取り出す確率を求めよ。 基本 (1) €23 (2) 白玉を2個取り出す確率が 18 のとき, nの値を求めよ。 (2) (3) CHART & SOLUTION p.312 基本事項2,基本2 確率の基本 Nとαを求めて a N 場合の数 N やαの値を、組合せの考え方で求める。 (1) 白玉5個, 赤玉3個のすべてを区別し, 異なる8個の玉から同時に2個取り出すと考え ると, 取り出し方は2通りある。 この中で, 白玉と赤玉を1個ずつ取り出す方法は 5C XC1 通り (2)(1) と同様に考えると, nについての方程式ができるから,これを解けばよい。 合 CHA じゃ 勝つ (2) 言 (3) 解答 (1) 1 そ (1) 玉を同時に2個取り出す方法は 2通り |(1) 白玉5個に ① ② 0. 通 白玉と赤玉を1個ずつ取り出す方法は よって, 求める確率は 5C1×3C1 ④ ⑤ 赤玉3個に Q. 5×3 5C1X3C1 ② ③ と番号をつけると 15 8C2 28 考える。 28 (2) 玉を同時に2個取り出す方法は 玉の合計は+5個。 n+5C2= 2.1 (n+5)(n+4)=1/2(n+5)(n+4)(通り) +N 白玉を2個取り出す方法は 5C2=10(通り) え <<-a 10 1 よって、白玉を2個取り出す確率は 20 (n+5)(n+4)(n+5)(n+4) (3) ↓ a N これが1であるから +3+4) - 18 20 5 nについての方程式 (n+5)(n+4) 整理すると (n+5)(n+4)=72 ゆえに n2+9n-52=0 nは自然数であるから よって (n-4)(n+13)=0 n=4 PRACTICE 36 3 は自然数とする。 白玉がn個, 赤玉が6個入った袋の中から玉を同時に2個取り 出す。 (1) n=4 のとき 白 P

（3）の青線を引いたところです。 なぜ範囲を絞ってx≠0の時の範囲を求めているのかがわかりません。教えていただきたいです

基本 例題 43 関数の連続 不連続 00000 次の関数f(x) が, x=0で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし、 [x] (ガウス記号) は実数xを超えない最大の整数を表す。 (1)f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] CHART & SOLUTION (2) f(x)=x2(x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6 f(x)が x=α で連続 ⇔ limf(x)=f(a) x-a f(x)がx=aで不連続xaのときのf(x) の極限値がない または limf(x)=f(a) xia limf(x), f(a)を別々に計算して一致するかどうかをみる。 ローズ 2章 5 関数の 解答 (1) limf(x)=0,f(0) = 0 から x→0 limf(x)=f(0) x→0 B (1) f(x)↑ よって、関数 f(x) は x=0 で連続である。 (2) limf(x)=0,f(0)=1 から f(x)↑ x→0 -1 limf(x)=f(0) 1 [01 -1 x0 よって、 関数 f(x) は x=0 で 10- 不連続である。 (3)xx0とすると 範囲を定めるのはガウスの値を1つに定めるため? O 1 x グラフでは、x=0 でつ ながっているかどうか をみる。 0≤cosx<1 (3) f(x)A よって [cosx]=0 ゆえに また よって lim[cosx]=0 x→0 f(0)=[1]=1 limf(x)=f(0) X18 したがって, 関数f(x) は x=0で不連続である。 極限値は口に限りなく近くではとらないこと 最大の整数を表しているから口を下回らないように すること 1 12/2 2 0 ガウス PRACTICE 43

この問題の最初の順序を変えて計算するところ？なのですが、自分は2枚目のようにやっていてこの無限級数の部分和は収束するからこのようにしても大丈夫ですよね？

ス題追 解 42 62 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 000000 無限級数(1-1/2)+(1/3-2/23)+(238-2123 ) +の和を求めよ。 の p.54 基本事項 4 基本26 CHART & SOLUTION 無限級数 まず部分和 S. 無限級数 部分和を求めてんを無限大にする この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和Sは有限であるから,項の順序 を変えて和を求めてよい。 [注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない(重要例題 32 参照)。 別解 無限級数 20m, 26m がともに収束するとき 無限のときは順序をかえると 8 an, n=1 00 00 an Σbn が成り立つことを利用。 n=1 計算がおかしくなることが あるからい n=1 n=1 初項から第n項までの部分和を Sn とすると 解答 Sn=(1+1/+1/3+ …………+ 32 3)-(1/2/+/2/2+ 1-(/) 1/12-(2/7)_ 3 = 1- 32 1 トレス + 2" lim S-21021-1-12 であるから,求める和は 1/2 Sn= = 1-∞ 別解 00 n=1 (1-1/2)+(1/3-2/23)+(328-12/31) + IM8 1-1 3- n=1 2 gly は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、 3n-1 配る。 2121は初項 1/12. 公比 1/2の無限等比級数である。 公比について 1.21 であるから,これらの無 限級数はともに収束して,それぞれの和は 1 Sは有限個の和である から,左のように順序を 変えて計算してもよい。 つくのである。 Shを求めでしょ inf. n→∞のとき <-0. →0 無限等比級数の収束条件は a=0 または |r|<1 このときは a 1-r ◆収束を確認する。

-1<=t<=0になってしまうのですがどうやったら-1<=t<=1になるのでしょうか

192 補充 例題 119 そのときの0の値を求めよ。 20°180°のとき, y=sin' + cos 0-1 の最大値と最小値を求めよ。 また、 三角比の2次関数の最大・最小 8 00000 [釧路公立大 ] 基本 60,112, 重要74 EX 9 A CHART & SOLUTION 三角比で表された2次式 1つの三角比で表す 定義域に注意 前ページと同様に考える。 9 2次 nis ①y の式には sin (2次) と cos (1次) があるから, 消去するのは sin である。 かくれた条 件 sin20+cos201 を利用して, y を cos だけの式で表す。 ② coseをt でおき換える。 このとき, tの変域に注意。 cos0=t とおくと, 0°0≦180° のとき - ③yはtの2次式 2次関数の最大・最小問題に帰着 (p.109 参照)。 2次式は基本形に変形 <最大・最小は頂点と端点に注目 で解決。 ↓平方完成 09.01 1-0 200+012 ( Paie-1)S sin を消去。 B sin20+cos20=1より, sin20=1-cos' であるから y=sin20+cos0-1=(1-cos')+cos0-1 =-cos20+cos cos=t とおくと,0°180°から -1≤t≤1 y を tの式で表すと y=-t+t=- ① y t- Onia 1 最大 基本形に変形。 -1 4 1 01 +12 ① の範囲において, yは t= で最大値 - t=-1で最小値 -2 をとる。 20°0≦180°であるから (S) 最小 -2 端点 となるのは,COS=1/23 から 0=60°三角方程式を解き、 最大 t=-1 となるのは, cos0=-1から 0=180° 値、最小値をとる tの値 からの値を求める。 よって 0=60°で最大値 1/10=180°で最小値 -2 08120>091 1 |12 PRACTICE 1196 arr 20°180°のとき, 次の関数の最大値、最小値を求めよ。 また、 そのときの値を 求めよ。 (1) y=cos20-2sin0-1 S H

例題の125番が何度読んでも理解できません。解説をお願いしたいです🙇🙇

204 基本 例題 125 三角関数の最大・最小 (1) 値・最小値を与える 0 の値を求めよ。 関数 y=2sin0+2cos0-1 (-10≦)の最大 [類 足利工大〕 の最大値・最小値,および最大 基本124 CHART & SOLUTION 1つの三角関数で表す 三角関数で表された2次式の扱い 要 例題 12 α は定数とす (1) この方程 (2) この方程 かくれた条件 sin0+cos20=1 を活用して,yを sin0 だけの式で表す。 int とおき換えるとyはtの2次関数となるが, tの変域に注意する。 2017のとき、1sin0≦1 である。 解答 0-1-ala-(0'nie-S cos20=1-sin' であるから 2 y=2sin0+2(1-sin'0)-1=-2sin 0+2sin0+178sin と cose を含む sind=t とおくと,ves であるから y を tで表すと y=-2t2+2t+1 2020 203 [次式は, 1次の方の三角 -1≤i≤1 3 最大 関数で表された式に 形する。 122 次式は基本形に変形 1≦t≦1 の範囲で,yは t=1/2で最大値- 3 2' 1 0 111 t 2 頂点 t=-1 で最小値 -3をとる。 20 AS 最小--- -3 また,107であるから t=1/23 となるとき, sino=1/23 から 0= ties) (I+nia) 6 1 20 2 020 1 x 2 t=-1 となるとき, sin0=-1から2 よって、この関数は0= で最大値 - 6 2 π 0=- 2 で最小値-3 をとる。 01-0000>0 CHART & 方程式(0) 2つのグラ sin0=k (0 の個数は 解答 (1) sin20- sino=t ただし, 0 したがって 方程式 ② ① 方程式 ② グラフと 右の図よ (2) (1) 2 方程式 ① [1] a= [2] 0< [3] [4] a= の範囲 れぞ [5] a [6]a の範囲で,それぞれの関数の PRACTI αを定数 PRACTICE 125° (1)(2)は2の範囲で, (3), (4) 2 最大値・最小値を求めよ。 また、そのときの0の値を求めよ。 (1) y=sin20-2sin0+2 (3) y=-cos2d-√3 sin (2) y = cos 20+ cos (4)y=sin'0+√2c COS 0+1 で求めよ

青線のところなのですが、なぜ引いてから二乗してはいけないのでしょうか。

264 基本 例題 166 x軸の周りの回転体の体積 (1) 00000 放物線 y=-x2+4x と直線 y=x で囲まれた部分を,x軸の周りに1回転 してできる立体の体積V を求めよ。 CHART & SOLUTION 回転体の体積 まず、グラフをかく ① 積分区間の決定 ②断面積をつかむ まず,グラフをかく。 2曲線の交点のx座標を求め、積分区間を 決定する。 この問題では断面積が S(x)=(外側の円の面積) (内側の円の面積) となることに注意。 解答 p.260 基本事項 2| 内側の円 2+4x x 外側の円 x2+4x=x とすると, x(x-3)=0 YA から y=-x2+4x x=0,3 y=x YA 4 4 0≦x≦3では-x2+4x≧x≧0 であ るから 3 オー 外側 内側 1 I O 213 V=S{(−x²+4x)²—x²} dx =(x-8x+15x)dx =A .5 13 0 x 234 G |-4|-- V={(-x2+4x)-x}dx としないように! (243 =π 108 -162+135 = πT 5 5 ・製造・ INFORMATION 2曲線間の図形の回転体 区間 [α, 6] において, f(x) ≧g(x)≧0 のとき,2曲 線 y=f(x) と y=g(x) 2直線 x=a, x=b で囲 まれた部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の 体積 V は 回転させたら円に YA y=g(x)=f(x)郎 f(x) g(x) 0 a V= ={{f(x)(g(x)}) dx なるから S(x)

①からa>2と考えたのですが、なぜ2以外の実数解という答え方になるのでしょうか、？ aを不等式で表す時と、実数解の形？(2以外の全ての実数解など)で答える時の違いは何ですか。

基本 例題 98 2次方程式の解の存在範囲 (3) 00000 2次方程式 x2-2(a-1)x+(a-2)²=0 の異なる2つの実数解をα, β とす るとき, 0<<1<β<2 を満たすように, 定数 αの値の範囲を定めよ。 CHART & SOLUTION [類 立教大〕 基本 96,97 2次方程式の解が2数 gの間グラフをイメージ f(pf(g)の符号に着目 f(x)=x2-2(a-1)x+(a-2)2 とすると, y=f(x)のグラフは 下に凸の放物線で, 右の図のようになる。 解の存在範囲が 0<α <1, 1 <B<2 となるようにするには,f(0) f(1) f(2) の符号に着目する。 右の図から f(0) > 0 かつ f (1) <0 かつ f(2)>0 を満たすようなαの値の範囲を求めればよい。 解答 f(x)=x2-2(a-1)x+(α-2)^ とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, 0<α<1 <β<2 となるための条件は f(l)>0 かつ f(1) <0 かつ∫(2) > 0 である。 ここで f(0)=(a-2)2 であるから ①から ②から ③ から f(1)=1-2(a-1)+(a-2)²=α-6a+7 f(2)=4-4(a-1)+(a-2)^2=α²-8a+12 =(a-2)(a-6) ((a-2)²>0 a2-6a+7<0 \(a-2)(a-6)>0 2以外のすべての実数 3-√2 <a<3+√2 a<2, 6<a 8, ⑤ ⑥の共通範囲を求めて 3-√2 <a<2 ① .... 2 (3) -6- ⑤ -6- 3-√2 2 3+√26 a 161 3章 + 11 a B2x グラフをイメージする。 3つの条件がすべて必要。 例えば,f(0)>0でなく, f(0) <0 とすると y=f(x) のグラフは, 次の図のようになり、 適さない。 0 2 X α-6a+7=0の解は a=3±√2 2次不等式 PRACTICE 98 2次方程式 2 いく

増減表の1次導関数の増減で、極値の右側と左側の値を何か適当なものを代入していつも増減を判断しているのですが、今回なぜか答えと逆の符号になってしまいました。見直してもなぜダメかわからないので、何か他にいい方法はあったら教えていただきたいです。 （自分はxに1とeの2乗を入れて... 続きを読む

基本的 式の証明と極限 1 x>0 のとき, x>10gx であることを示せ。 (2)(1) を利用して, lim 81X 10gx0 を示せ。 x CHART & SOLUTION 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 00000 (1)(x)=(左辺)(右辺) とし, f(x)>0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値)>0 を示す。 基本 92 16 調べるの (2)(1)の不等式を利用して, logx を不等式ではさむ。 x 調べると 解答 (1)f(x)=√x-10gx (x>0) とすると CHART 1 f'(x)= 1 とすると 2√x x √x-2 2x 大小比較 差を作る f'(x) =0 とすると 今から x 0 ... 4 √x=2 f'(x) これを解いて 10 x=4 整理する 極小 x0 における f(x) の増減 f(x) > 2-log4 表は右のようになる。 x=3 さない。 x0 のとき f(x)=f(4)=2-1og4=loge2-104>0 とき す よって, x>0 のとき √x>10gx (2)x→∞について考えるから, x>1 としてよい。 このとき (1) から ← 2=2loge=loge2 また, 2<e<3である から4<e<9 - は 0<logx<√x あるから 値をと で、 各辺をx(0) で割ると 0<- logx < x x 1 Tin (r)-lim lim -= 0 であるから lim logx=0 x-00√x x→∞ x あること き常に INFORMATION する ←はさみうちの原理 mil x81 x logx 例題で証明した lim E=0 において 10gx =t とおくと x=eであり t x→∞ のとき →∞ であるから, lim =0 すなわち limax=0も成り立つ。 817 x400 この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 PRACTICE 94Ⓡ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx<sinx が成り立つことを示せ。 (2)(1) の結果を用いて lim x-sinx x+0 x2 を求めよ。 [類 岐阜薬大]