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練習問題 16
放物線y=x-2(t+2)x+4t の頂点をPとする.
(1) tがすべての実数を動くときに, 頂点Pの軌跡を求めよ.
(2) t0以上の実数を動くときに, 頂点Pの軌跡を求めよ.
精講
頂点Pの座標, y座標をt を用いて表し, tを消去すること
Pの軌跡を求めます. 今までは点Pの座標を (x, y) とおいて
したが、この問題では,xやyという文字は放物線を表す式の中にも登
すので、混同しないように (X, Y)と大文字でおいておくのがいいでしょ
解答
y=x2-2(t+2)x+4t
={x-(t+2)}-(t+2)2+4t
={r-(t+2)}-t-4
平方完成
なので,放物線の頂点は (t+2, -f2-4)
頂点を P(X, Y) とおくと,き
反ではない)
X=t+2 ・・・・・・ ①, Y=-t2-4... ②
媒介変数表
(1) tを消去する. ① より t=X-2 なので,これを②に代入すると
Y=-(X-2)^-4 tを消去
tがすべての実数を動くとき,X (=t+2) もすべての実数を動くので
める軌跡は
(2)同じくを消去すると,Y=-(X-2)2-4
tが0以上の実数を動くとき,
放物線y=(x-2)2-4 (全体)
「答えを書くときは
小文字のxyに戻す
tの変域を
(Xに引き継
X-2≥0 X≧2
より, Xは2以上の実数を動く. よって, 求める軌跡は
放物線の一部 y=-(x-2)2-4 (x≧2)
(1)の軌跡
0
-4
2
放物線
全体
(2)の軌跡
YA
2
放物線の
一部となる
