使用△ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長に
例題
2
下ろした垂線 AL, BM, CN は, 1点で交わることを証明せよ。
[解説] 平面上に座標軸を適当に定めて、 図形の関係を式で表す。
y
証明 直線 BC をx軸に, 垂線 AL を y
軸にとって, △ABC の各頂点の
座標を,それぞれ次のようにおく。
a A
M
N
A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)
H
B
h
C
ただし, a≠0である。
b
OLC
x
b = 0 または c = 0 のときは,
△ABC は直角三角形となり, 3本の垂線は, 原点で交わる。
b≠0) かつ c≠0 のとき,直線ABの傾きはであるから,
b
垂線 CN の方程式は
b
y=(x-c) すなわち y= -x-
a
b
a
bc
a
a
直線AC の傾きは
-
であるから,垂線 BM の方程式は
C
y=(x-b) すなわち y=c
bc
a
よって,2 直線 CN,BM は,ともに点H(0, bc
-
を通り,
a
Hは y 軸上,すなわち直線AL 上にある。
D
したがって, 3本の垂線 AL, BM, CN は1点で交わる。 終
1点(x1, yi) を通り,傾きがmの直線の方程式は
y-y=m(x-x1)
