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1 等差数列と等比数列
(39)
Think
例題 B1.16 等比数列と図形
**** ¥
Ai(1,α)/l
直線 y=ax (a>0) を l とする.ℓ上の点
A (1, α) からx軸に垂線を下ろし、その足B,
からに垂線を下ろし, その足を A2 とする.
さらに点Aからx軸に垂線を下ろし、その足
を B2 とする. 以下これを続けて, 線分 A3 B3,
A,B, ･･････ を作る. また線分ABの長さを l
とおく.
(1) l1, l2, l3, ・・は等比数列であることを示せ.
Az
A3
O
(2) li+ l2+ ls+ ...... + ln を a で表せ. (明治学院大改)
「考え方」
解答
y=ax と x軸のなす角を0とおくと,
△AOBABABA2B2
A2B2A3co・・・・・・ より
0=∠AOB=∠ABA2=∠B1A2B2=∠A2B2A=......
(1)∠AOB= 0 とおくと, lAa より
cost=-
OB_ 1
OA₁ √a²+1
△ABA2△A,OB より,
∠ABA2= ∠AOB=0
したがって, A2B=AB cost=licoso
同様に, l2=A2B2=A2BICOSA
B3 B2
L
B₁ x
A (1, α) より OB=
AB=αであるから,
OA₁ = √√a²+12
△ABA2とAOB
∠BA1 A2=∠OAB (
∠AAB=∠ABO
△ABIAA OB1
よって,
∠ABA2=∠AOB
AAOBAA₁B₁A
△BA2B2 の相似」
1
1.T
=licoso.cost=licos'0=
a²+1
なので,
1
同様にして, ln+1= -lm が得られる.
'+1
よって, l1, l2, ls, ...... は, 初項 α.
公比
の等比数列である.
+1
(2)0 より,
1
a²+1
a²+1
li+lz+ls+... + ln
a{1-(a²+1)}_a{1-(a²+1)"}
a°+1 (a+1)"-1_ (ω°+1)"-1
キ1 なので、
A2B2 を A B で表す
できる.
1
初項 α,公比-
a²+1
数列の第n項までの
a
a²+1
100%
a
a(a+1)-1
(a²+1)"
dear
Focus
図形のくり返し相似条件に着目し、隣接項の関係式を導
練習 直線 y=ax (a>0) をℓとする. l 上の点A(2, 2a) からy軸に垂線を
1.16 その足 B, からℓに垂線を下ろし、その足をAとするさらに点Aから
*** 垂線を下ろし、 その足をB2 とする. 以下これを続けて, 線分A3B3, Al
* a
