数列が収束しないとlimを分配できないのはわかるんですが、それを一つ一つ解答に書かないとダメですか?普通の計算問題だとそのまんま答え出すのに？、、

問 42 数列の極限 (II) (無限等比数列) 73 liman=r (収束) mn+1 注 第n項が 1+2" (-1)で表される数列の収束, 発散を次の各場 12-00 E r>1 のとき, limy”は発散しますが,逆数をつくれば0</1/1 <1 となり, lim 合について調べよ . 12-00 '=0 と収束させることができます. 次の(4)も同じ要 (1) r=1 (2) -1<r<1 (3) r>1 (4) r<-1 領です. 精講 等比数列 {r"} の極限,すなわち, limyの値によって次のよ うになります. 極限値0 (-1<r<1) 極限値1 (r=1) 収束 limr"= +8 (r>1) 発散 振動する (r≦-1) この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で 場合分けをすることができます。 しかし、この問題は式が分数の形をしていますから, limr", lim y"+1 を求 めたとしても不定形になる可能性があります. 72-00 12-00 解答 mn+1 an= 1+r" (r≠-1) とおく. (1)r=1 のとき, an=1/2 .. liman= =1/2束) 12-00 (2) -1<r<1 のとき, limr" = limy”+1=0 だから, n→∞ liman=0 (収束) 12-00 (3) r>1のとき, an=- n→∞ 0 0 10 以外の定数 r 分子, 分母をr” でわっ +1 ておく 01<1だから,lim =0 71α (4) r<-1 のとき, an= +1 -1<1/12<0だから, lim (1)"=0 7→8 r .. liman=r (収束) →∞ 注 極限を求める問題の解答をかくとき, うかつに lim 記号を分配し てはいけません. 極限が lim (an+bn) = liman+limb となるのは liman=a, limbn=β (α, 'B:定数) の形のとき n→∞ n→∞ すなわち, 数列 {a} と数列{6} がともに収束するときです. だから, 解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません. ポイント 「極限値0(-1<<1)] 収束 極限値1(r=1) ・limy”= n→∞ +8 (r>1) 発散 振動する (r≦-1) ・ うかつに lim 記号を分配しない 演習問題 42 第n項が man+1+1 2n+1 で表される数列の収束, 発散を調べよ. 第4章

この０<はどこから来てるんですか？n^2/2^nの最小値ならnに4を代入した1じゃないんですか？どうして1<=にしないんですか？

28 — 数学Ⅲ 第3 分数型) と極限 PR nは4以上の整数とする。 ③20 不等式 (1+h)" >1+nh+ n(n-1) h²+ 2 6 2" (1) lim (2) lim n2 ugu n-8 22 与えられた不等式において,h=1 とすると 2">1+n+ n(n-1) n(n-1)(n-2) 2 6 n(n-1) (1) ①から 2"> 2 2nn-1 両辺をnで割ると ここだけでた。 n 2 n-1 lim 2 =∞ であるから (2) ①から 2"> n(n-1)(n-2) mil 2n lim =8 n→ ∞ n n(n-1)(n-2) (h>0)を用いて,次の極限を求めよ。 binf. 与えられた不等式 (1+h)=2 T=0 inCh (二項定理)から得られる。 mil n>0であるから不等 号の向きは変わらない。 an>bnで limb = 0012 ならば liman=8 110 (2) で定められ PR 21 6 Vie <a>6>0のとき 1 6 両辺の逆数をとると 2n n(n-1)(x-2) 2 'n' 6m² 両辺に n' を掛けると 22 n² 6n よって 2n n2-3n+2 2n n(n-1)(n-2) a 言 20 であるから不等 号の向きは変わらない。 (n-1)(n-2) =n2-3n+2 G 6n ここで, lim =lim n→ ∞ n²-3n+2 n→∞ 6 n 3 2 + take (1) n -= 0 であるから n² lim n→∞ n² 2n 2 = 0 はさみうちの原理 a a1=2, an+1= 5an-6 2an-3 (n=1, 2, 3, ･･･) で定められる数列{an} について (1)6m= an-1 an-3 とおくとき,数列{bm} の一般項を求めよ。 (2)一般項 αと極限 liman を求めよ。 n→∞ 5an-6 Lint. 1 liman = α と仮定 (1) bn+1= an+1-1 2an-3 an+1-3 5an-6 1218 5an-6-(2an-3) すると, lim 2 5an-6-32a

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。 何かコツや、式変形の対応デッキ... 続きを読む

基礎問 76 MAN AV 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ. (2) 数列の和 Sm= (1)をnで表せ。 (n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する. 両辺に2をかけて, 22k ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より) ..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1 よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ. (3) lim Sm を求めよ. (1) 考え方は2つあります。 ... 1 2 n (2) Sm = + 4° 4' +・・・+ ...... ② 4"-1 1/Sn= 1 n-1 n +・・・+ + ......3 4₁ 4"-1 4" ② ③ より 3 (IIB ベク4 ) Sn= + 1 1 n -(+) +...+ n 4' 4"-1 -Sn= 4 1 4" I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。 II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137 (2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121 S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。 (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。 bn≦a≦cm のとき .. Sn= n (3)(1)より2">n だから, (2")'>n . 4">n²=0<< 20< n 4 4-1 n lim40 だから、はさみうちの原理より lim 11-∞ n n - 4-1 -=0 limb= limcn=α ならば liman = α →00 11-00 この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) さらに, lim lim (14) "=0 より lim.S,=- 16 11-00 9 「ポイント 解答 (1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法) (x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n .. 2">n (解II) (数学的帰納法を使って示す方法) 2">n ...... ① (i) n=1のとき (左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ 演習問題 44 極限を求める問題の前に不等式の証明があれば, はさみうちの原理を想定する 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと 数学的帰納法を用いて証明せよ。 "k =215730 (n=1,2, …) とおく。このとき, (2) Sm= 2 k=1 1 n 3 3+1 (3) lim Sm を求めよ. 11-00 が成りたつことを示せ. CS CamScanner 第4章

極限です。この問題の(4)ですが、なぜr<-1なのに振動とならずrに収束するんですか？？どなたか教えていただきたいですm(_ _)m

引 42 数列の極限 (II) (無限等比数列) mil - Je At mil-J (r≠-1) で表される数列の収束, 発散を次の各場 mn+1 第n項が 1+rn 合について調べよ. (1) r=1 (2) -1<r<1 (3) r>1+S (4) r-1

（3）について （1）より、のあとどっから出てきた値ですか？ どう出てきたか分からないので教えて欲しいです。 また、どうやって赤色の式を立式したのか。 立式後の計算過程はわかるのですが、 最後の1文の式も理解出来ません。 多いですが全て教えて欲しいです。

政宗 3 単調 基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限 次の条件で定められる数列{an} について,以下のことを示せ。 ★★ [基本 a>2 この 1 a=2, an+1= an an 2) =(a+) (n=1, 2, 3, ....) (1) すべてのnについて an≧2 (2)数列{az} は単調に減少する。 指針 (3) 数列{a} は √2 に収束する。 指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され, 近似値 2 を与える計算方法 1つである。 (1)帰納的にa>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。 (3) はさみうちの原理を利用して, lim an-√21=0 を示す。 12100 解答 (1) α=2>0 であり,漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。 よって,相加平均と相乗平均の関係から,任意の自然数nについて 11 = 1/2 (an + 2 ) 2 1 1 · 2 √an · 2 =√2 an+1=- an an =2√2 であるから,すべてのnについて 全体 > 「or an≧√2 ord -ano (2) 任意の自然数nについて anz anti-an= 2 = (a + 2) - 2-an -an= 両認して、 2 2an (1)より, an≧√2 であるから an = 2 2. an²≤0 ゆえに 2-an≤0 anti-an 解答 よって, an+1≦an であるから, 数列{az} は単調に減少する。■ (3) 与えられた漸化式により an-√2 より 2an an+1 1 an2-2√2 an+2(an-√2)2 S an 2an 2-12 であるから 2an √2 = 1½ (an - √2) 0≤an-√2 ≤ (1) (a-√2) よって lim (1) (-√2)=0であるから 1\n-1 2an an-√2 antl 20n -(an-√2) F=/(an-2) a) - 2 ½ £ (an-√=)) ant-2FanF liman=√2 818 an an 089-2 osan- 2 参考 lin n- 0500-12

解答のところでシャーペンで①②と書いているところについてそれぞれ質問したいです。 ①a＞2のaは何を表していますか？ anのことですか？？ a＞2がan＞2のことを示しているのならばa1＞２ということは理解できますが、間違っていれば教えて欲しいです。 ②なぜan－an－... 続きを読む

3 単調数列とコーシー列 25 SO ★★ 基本 例題 020 数列の発散と収束する数列の有界性 α>2として,数列{a}を次のように定める。 (本 a=a2-2, an+1=an2-2 この数列は正の無限大に発散することを示せ。 指針 数列{an} が単調に増加することを示す。 解答 収束する数列{a} は有界である。 2より a2 数列{a} が正の無限大に発散することを示すために, bn= 1 束することを示す。 このことは,次の定理により示される。 定理 収束数列の有界性 として, 数列{6} が 0 に an PD (称号の向きは変asaz 262 以下, 帰納的にすべてのnに対して an>2 単調減少 an-an-1=(an-12-2)-an-i= (an-i+1) (an-1- -1-20 よって, 数列 {az} は単調に増加する。 ancian. (+(-2) 271-2) bn=- とおくと, 数列{6} は単調に減少する。 bn 1 an また,すべてのnに対してb>0であるから,数列{bm}は下に有界である。 よって, 数列{bn} は収束するから,その極限値をβとする。 an>2より bn<- 2 21 an=12-2より1_1 (正の内に発話していること。 b2-2であるから bn-12-bn-2bn bn-12 B2=β-233 より β(β+1)(2β-1)=0 [n] 06/1/23より β+1>0, 2β-1<0 よってβ=0 [s) これはliman=∞ であることを示している。 n→∞ 参考 定理 収束数列の有界性の証明 lima=α とする。 このとき、ある番号Nが存在して, n≧Nであるすべてのnに対して N11 |an-α| <1 となる。 三角不等式により|an|-|a|≦|an-αであるから,n≧N であるすべてのnに対して|an|<|a|+1 が成り立つ。 ここで, M=max{|a|+1, |a|,|az|,......., | av-1|} とする。 このとき,Nの場合も、n<N の場合も |an | ≦M が成り立つ。 よって, 数列{an} は有界である。 注意 この逆は正しくない。つまり数列{az}が有界であっても、収束するとは限らない。例えば、 =(-1)" で定義される数列{an} は-1≦a≦1から有界であるが,振動するから収束しない。

（2）の解答のところで ①と書いてるとこ見て欲しいのですが、（1）より〜であるから のあとの式が理解できません。どうやってこうなったのか分からないので教えて欲しいです。

E: 24 第1章 実数と数列 13 単調数列とコーシー列 基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限 基本 例題 次の条件で定められる数列{an} について、以下のことを示せ。 >2として, a a1=2, an+1= = (a 2 - (n=1,2, 3, ......) この数列は正 (1) すべてのnについて 2 (3) 数列{an} は√2 に収束する。 (2) 数列{az} は単調に減少する。 指針 数列{an 数列{α 1つである。 指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され,近似値 2 束する (1)帰納的にan>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。 (3) はさみうちの原理を利用して, lim|an-√21=0 を示す。 72-00 2を与える計算 定理 収 解答 α>2 an+1= 解答(1)α=2>0であり、漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。 よって, 相加平均と相乗平均の関係から、任意の自然数nについて 以下 よ an+ an +2)=1.2√a. 2-√2 br ano an =2√2 であるから、すべてのnについて (2) 任意の自然数nについて an+1-an= - ½ (an+2)-an-³ 2-an² 2am 2-an 2≤0 (1)より、≧2であるから ゆえに an+1-an≤0 よって, an+1≦an であるから, 数列{an} は単調に減少する。 (3) 与えられた漸化式により an+12 an2-2√/2an+2 2an (an-√2) 2 2an an-√2 (an-√√2) 参 2an (1)より,0≦- an-√√2 2an an 1 であるから 2an 2 よって anti-√2 (an-√2) S 0san-√2(1)(a-√2) lim (12) (a-√2)=0であるから 8218 liman=√2 818

かっこ2は数列と言われてないのに0より大きいってなんで分かるんですか？

基本 例題 20 極限の条件から数列の係数決定など 00000 (1) 数列{az} (n=1, 2, 3, ......) が lim (3n-1)a=-6を満たすとき, limna = である。 8818 17100 [類 千葉工大] (2) lim(n+an+2-n-n) =5であるとき、 定数αの値を求めよ。 p.34 基本事項 基本 18 指針 n (1) 条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために, nan3n-1)円× と変形。 3n-1 数列 1377-1} は収束するから,次の極限値の性質が利用できる。 lima=a, limb=β⇒lima,b=aβ (α,βは定数) 11-00 818 →∞ (2)まず、左辺の極限をαで表す。 その際の方針は.38 基本例題18 (3) と同様。 0 (1) nan=(3n-1) anx n であり Ana を収束することが 3n-1 lim(3n-1)an=-6, 72 00 n 1 1 lim =lim わかっている数列ので 表す。 72100 3n-1 72→80 1 3 3 7 1 よって lim nan 7210 =lim (3n-1)an×lim n→∞ 1 =(-6). =-2 3 (2) lim(√2+an+2-√n²-n) 12-00 (n²+an+2)-(n²-n) =lim 72100 =lim n→∞ =lim √n²+an+2+√n²-n (a+1)n+2 n²+an+2+√n²-n (a+1)+ 22 nco 3n n n 収束するやつ。 + 2 a+1 12 n→∞ a 2 1 + - + + 1- n n² よって、条件から a+1 -=5 したがって 2 a=9 極限値の性質を利用。 かけられる! ab mil 分母分子に √ntan+2+vn-n を掛け,分子を有理化。 分母分子をnで割る。 n> 0 であるから n=√n² αの方程式を解く。 ■ (1) 次の関係を満たす数列{a} について, liman と limna を求めよ。 (ア) lim (2n-1)an=1 7178 118 (イ) lim n→∞ 2an+1 an-3 =2 n→oo (2) lim(√m²+an+2-√n²+2n+3)=3が成り立つとき, 定数αの値を求めよ 8+U (2)摂南

青線部の所の意味が分かりません！

(?) (2)) 基本 例 20 極限の条件から数列の係数決定など 00000 ) 数列 {an) (n=1, 2, 3, .....) が lim (3n-1)α=-6を満たすとき. limna である。 918 [類千葉工大] lim(n+an+2-√n-n)=5であるとき、定数αの値を求めよ。 p.34 基本事項 2.基本 18 針 (1) 条件 lim (3n-1)a=-6を活かすために, na-3n-1) α × n 変形 3n-1 77 数列 3n-1 は収束するから、次の極限値の性質が利用できる。 liman=α, limbn=β⇒lima,b=aβ (a,βは定数) 700 818 (2) まず 左辺の極限をαで表す。 その際の方針は p.38 基本例題18 (3) と同様。 41 (1) nan=(3n-1) anx n であり Ana を収束することが 3n-1 lim(3n-1)an=-6, n 1 1 lim =lim わかっている数列ので 表す。 72-00 3n-1 12-00 1 3 3 ? n 数 2 2章 数列の limnan=lim(3n-1)anxlim よって 72100 12-00 1 =(-6). =-2 2) lim(√n2+an+2-√n²-n) n100 (n+an+2)-(n²-n) =lim n11 √n²+an+2+√n²-n =lim 718 (a+1)n+2 √n² +an+ 2 + √√n ² -—n a n (a+1)+ 2 2 n 1+ + + 1- n² n n-co 3n-1 =lim a+1 N18 1 2 n a+1 よって、条件から =5 2 したがって a=9 mil-mila 極限値の性質を利用。 分母分子に √√n²+an+2+√√n²-n を掛け、分子を有理化。 分母分子をnで割る。 n0 であるから n=√n² αの方程式を解く。 次の関係を満たす数列 {az} について, liman と limnan を求めよ。 ア) lim (2n-1)an=1 12-00 81U (イ) lim n→∞ 2an+1 an-3 =2 n→∞ lim(√m²+an+2-√n²+2n+3)=3が成り立つとき, 定数 α の値を求めよ。

グラフで(2)を解いたんですけど∞になってしまって、この時ってグラフで解けないってことですか？

基本例題19 において, 点 (an, an+1) は直線 2 y=1/2x+1 ① 上にある。更に, 直線 y=x ② smil 818 YA 極限値 (a, a) a .... as a3 an 1 a1 10 a a2a3.....α x を考えて,まず点 (a1, a1) からそのまま真上に移動する と直線 ①上の最初の点 (ai, α2) に到達する。 そこから 矢印に従って右へ移動すると直線②上の点(a2, az) へ, 更に、そのまま真上に移動すると直線①上の次の点 (az, d3) へ到達する。 これを繰り返すと, 右図のように, 点 (an, an+1) はある点に近づいていくことがわかる。この点は直線 ①と直線②の交 点 (3, 3) である。 これは, 数列 {an} の極限が3であることを示している。