-
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(2,3)=(-1.2) 2/14-315
= (1+√3,5 ? AC = (1, (3) +12+12-13+ || 22
■ 14
第1章 平面上のベクトル
(2) B
すると、OA22=
ita
a+22
A.A21 BB2CiCaの中点をそれぞれ、L,M,Nをすると
c
atate
4
となり一致する。
STEP B
*52 ∠A=60°, AB=8, AC = 5 である △ABCの内心をⅠとする。 AB=6.
AC=C とするとき, Ai を6,こを用いて表せ。
53 △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ A1, B1, C1 とし, 平面上の任
意の点0に対し, 線分 OA, OB, OCの中点をそれぞれ A2, B2, C2 とする。
線分AjAz, BiB2, CC2 の中点は一致することを証明せよ。
*54 △ABC の重心をGとするとき,この平面上の任意の点Pに対して,等式
AP+BP-2CP=3GC が成り立つことを証明せよ。
✓ 55 △ABCと点Pに対して,次の等式が成り立つとき,点Pの位置をいえ。
*(1) PA+PB+PC=AB
*(2) AP+BP+CP=0
(3) PA+PC=AC
例題 5 △ABCと点Pに対して, 等式 6AP+3BP+2CP=0が成り立つと
き, 点Pはどのような位置にあるか。
指針等式からPの位置ベクトルを表す式を導き、 その式からPがある線分の内分点である
ことなどを判断する。 解答ではAに関する位置ベクトルを考えている。
[解答 AB=1, AC=c, AP= とする。
65+3(-6)+2(-2)=6
36+2c5x3+2c5x36+2c
11 11
等式から
よって
5
11
2+3
したがって, 辺BC を2:3に内分する点をDとすると,
点Pは線分AD を 5:6 に内分する点
B2-
D
C
12-
4STEP数学C ベクトル
(+1)+(+1)
+1/+1-1)
=0
[別 AB=6,AC-
とすると
AD=2AB+ AC
1+2
BE=AE-AB
=-6
CF-AF-AC
よって
JALAS In ek
AD+BE+CF
(6+1)+(-6)+(-)
=(1+1)+(+1)=0
51 A, B, C,D,E,F の位置ベクトルを,それ
ぞれa, b,c,d,e,とし,L,M,N,P,Q,
Rの位置ベクトルを, それぞれ1,m,n,p.g.
とする。このとき
_a+6
2
m=
2
ate
*=2-50 a
p=d+e¸ q=e+³¸ 7 = 7+a
2
△LNQの重心Gの位置ベクトルをg とすると
i+n+g
g=-
3
1/a+b c+d
=
52計画
内心は角の二等分線の交点であるから、
二等分線の性質が利用できる。
LAの二等分線と辺BCの交点をDとする。
BD:DC=AB: AC, AI ID=BA:80
ある。
∠Aの二等分線と辺BC
の交点をDとすると
BD: DC=AB:
よって
=8:5
AC
AD=5AB+8AC
8+5
50+8c
OL-OA+OA
b + c à IN
2 2
56 指針
**
(2) ABCの面積をSとL
△PCA, △PABの面積を
(1) AB=6.
AC=c,
AP=p
c+a b
等式から5p+4p-b)+3
OM=
OB,+OB₂
ゆえに
[30
p=4b+3c
-
a+b
D
OC+OC2
ON=-
13
また, △ABCにおいて、余弦定理により
BC" =82 +52-2×8×5cos60=49
BC 0 であるから
よって
BC=7
8x7
BD BO=13
BIは∠Bの二等分線であるから
OL=OMON となるから、 L., MNは一致
する。すなわち、線分A1A2. B,B2 CC2の中
点は一致する 。
54 A, B, C. G.Pの位置ベクトルをそれぞ
a,b,c.g, とする。
12
=1/2x4+3
7
745+=
=123+
したがって,辺BCを3:
すると、点Pは線分AD
ある。
(2) △ABCの面積を S
とする
と
APBC=12
APCA = AADC
8x7
AI: ID=BA BD=8:
-=13:7
点Gは△ABCの重心であるから
13
a+b+c
ゆえに
AI=1347 AD=0x50+8
13
したがって
53 OA=a, OB=1,
左辺右辺
=AP+BP-2CP-3GC
=(-a)+(-6)-2p-c)-3(c-g)
= -a+b+c)+3g
5091
3x +
=-(a+b+c)+3x_
OC=c とすると
OB+OC
OA₁ =
B2
2
G
b+c
2
よって 左辺=右辺
A02
A₁
OC+OA
OB₁ =
=(a+6+2)+(a+6+2 = d
55AB=6. AC=c, AP= とする。
-P+(b-p)+(c-p)=
*56 △ABCと点Pに対して, 等式 5AP+4BP+3CP=0 が成り立っている。
(1) 点Pの位置をいえ。
(2)△PBC: △PCA: △PAB を求めよ。
セント
52角の二等分線の性質を利用。 △ABCにおいて,∠Aの二等分線と辺BCの交点をDと
すると BD DC=AB: AC
53
線分 A1 A2, BiB2, CiC2 の各中点の位置ベクトルが一致することを示す。
ば底辺の長さの比に等しい。
56 (2)三角形の面積の比は、底辺の長さが等しければ高さの比に等しく,高さが等しけれ
3 2
¹(a+b+c+d+e+1)
△MPR の重心の位置ベクトルをとすると
_mtptr
g="
1(b+c d+e +a\
"32"
=(a+b+c+d+e+7)
g=gとなるから,GとGは一致する。
6-3-5-(-6)
APAB=12AABD
APBC: APCA
よって
c+a
2
1等式から
よって
OA+OB
OC=
a+b
したがって、点Pは辺 ACを12に内分する点
である。
OA
また 02= 2 =2
2) 等式から
P+(-b)+(p-2)=0
57 AB=OB-OA
=b-a
AP=OP-0A
=(3a-26)
=2a-26
=-26-2
よってAP=
ゆえに、点Pは
a0, b
条件から直
OB b
よって
0B2=
b= b+c
22
58 (1) OB=4-
OC
C
OC-22
3)等式から
したがって、点Pは△ABCの重心である。
-p+(c-p)=c
よって、3点
(2) AC=OC-
ここで, 線分A1A, B, B2, CiC2 の中点を、 そ
れぞれ L, M, Nとすると
よって
p=o
=(24+
したがって, 点PはAと一致する。
=400+
