24. （１）と（２）は同じ問題のようで、場合分けが必要ない問題と必要な問題ですが、問いを見た時に場合分けの有無が分かる方法などはあるのでしょうか？？ 写真2枚目のような解き方をして間違えました。 また、［2］のこれはabc≠0を満たす全ての実数a,b,cにおいて成り立つ、... 続きを読む

44 基本例題 24 比例式と式の値 (1) x+y x+y_y+z z+x 5 7 (2) b+c a 解答 (1) = 6 cta b よって 指針 条件の式は比例式であるから, (1) x+y H5T 6 y+z = ...... 比例式は=とおくの方針で進める とおくと x+y=5k, y+z=6k,z+x=7k (A) これらの左辺は x,y,zが循環した形の式であるから、Aの辺々を加えて、 すると, x+y+z をk で表すことができる。 右下の 検討 参照。 (2) も同様。 a+b C c+a b x+y=5k ① +② +③ から 2(x+y+z)=18k したがって x+y+z=9k -②, ④-③, ④-① から,それぞれ x=3k, y = 2k, z=4k xy+yz+zx x2+y2+22 (2) 分母は0でないから b+c a+b a C dat xy+yz+zx x2+y2+22 のとき、この式の値を求めよ。 ...... (0) のとき z+x=kとおくと,k=0 で 7 ①,y+z=6k - ...... ②,z+x=7k ①,c+a=bk 6k2 +8k2+12k2 (3k)²+(2k)²+(4k)² 26k2 26 29k2 29 = abc≠0 (a + b)(b んとおくと ...... 44 b+c=ak ① ① +② +③ から よって (a+b+c) (k-2)=0 ゆえに a+b+c=0 または k=2 [1] a+b+c=0のとき b+c=-a b+c a 2(a+b+c)=(a+b+c)k id=p ②, a+b=ck ED)Ed 4 db- ...... (検討」 ①~③の左辺は、 循環形 (xy Z 次の式が得られ b+いる。循環形の式 ...... ...... (3) の値を求めよ. (3) -a= よって k= -1 a [2] k=2のとき, ①-② から a=6 ②-③ から b=c よって, a=b=cが得られ,これは abc≠0を満たすすべ ての実数a,b,c について成り立つ。 [1], [2] から, 求める式の値は -1, 2 加えたり,引いた 処理しやすくなる ho-do <x:y:z=3:2 3･2+2.4+4・ 32 +22+42 と計算すること <abc≠0⇔a≠0 6=0 か 0の可能性がある 両辺をa+b+ci はいけない。 (*)k=2のとき ① 5 b+c=2a, c この2式の辺々を b-a=2(a-t よってa=b (分母) 0の確認。

（2)のⅱを教えてください

[io] II 一般項が次の式で表される数列{an} を考える。 J2×J5= 1.41×2.3 10 [5000][10] ただし,実数に対して, [x]はxを超えない最大の整数を表す。 (1) a10 = 規則 2: ア (i) b10= カキ 19 (ii) S2024 の最大の素因数は (iii) bk k=1 || n Q10 > (2) 自然数nに対して, Sn=ak とおく。 k=1 (i) S10= n = [√n] an= an3 an a100= チ 0 う 2 S100 = (iii) Sn > 2024 を満たす最小の自然数nは (3) 数列{bn} を次の規則 1,規則2で定める。 (6 規則 1: イウ n n an 0 (n=1,2,3, ...) キ [2] an 2 a2024 クケコ 625 サシス 181 である。 である。 ニヌネである。 172 エオ である。 44 センタ b100 ツテである。 10 217 となる自然数nに対して, bn 22 180 2025 である。 n (ii) 1≦n≦100 において, bm > 0 を満たす自然数nの個数は ある｡ 100 an 100 となる自然数nに対して, b=0とおく。 10 1.41 とおく。 3243 12024 24 506 EGE 253 トナ to で

(1)でnの場合が成り立つからn+1も成り立つことになっているのですがan+1=の関係式が違う関係になってしまう可能性はないのでしょうか？

練習 397 α1=5, an+1= 5an-16 an-3 (1) bn=an-4 とおくとき, bn+1 をbnで表せ。 (2) 数列{an}の一般項を求めよ。 5an-16 (1) an+1= an-3 bn=an-4から ①に代入して で定められる数列{an}について ①とする。 an=bn+4, an+1=bn+1+4 外 5(6+4)-16 56+4 bn+1+4= bn+4-3 bn+1 5bn+4-4(bn+1) bn bn+1 bn+1 1 HIRT (1) 22 bn (ゆえに an-4= (3) liman を求めよ。 n100 よって bn+1= 2 (2) by=a4=1>0であるから ② より すべてのnについて >0である。 1100 ゆえに、②の両辺の逆数をとると = = n 1 bn+1 - 1 bn よって、数列{ //} -=1, 公差1の等差数列で { //} は初項/10/1 = b1 +1 1 =1+(n-1)・1=n すなわち bn= n AP. BPStan よって an=4+- HINT (1) an=bn+4を 与式に代入して整理。 (2) まず, b>0を示し, (1) の漸化式の逆数をと る。 Lo ←bn+1= [類 岐阜大〕 n a (8-) + 2- 5bn+4 bn+1 ←bk>0と仮定すると bk bk+1= ->0 bk+1 b1 > 0 であるから、 すべ てのnについて b>0 -4 0 4章 練習 極

（2）の3行目からよくわからないです。 詳しく解説お願いします🙇‍♀️ 1枚目：問題文 2枚目：（1）を解いたものと（2）の途中 3枚目：（2）の解説 です

4 [ⅣV] 0 以上の整数nを2進法で表したときに20の位の値,2'の位の値,……… 2D(x) -1の位の値をそれぞれby, bg, ・・・・・, bp(x) とする。 ただし,D(n) は n を 2進法で表したときの桁数であるの 01 (1/2)+b2 (12/2 ² A₂ =b₁ で定義される数列{an} を考える。 例えば, n=0のとき 2進法では0のため ao = 0 n=1のとき 2進法では1のため 1×(1/2)=1/1/2 n=2のとき 2進法では10のため a1 = 1x a2 = 0x 1×(1/2)+1×(1/2)=1/1/14 ² n=3のとき 2進法では11のため ……. n=4のとき 2進法では100 のため D(n) + bp (2) 2 (1/12/) (2) 3 a3 a₁ = 1 × ( ² ) ² + 1 × ( 1 ) ² = ² X 4 となる。 以下の問いに答えよ。 3 · × ( 1 ) ' + 0 × ( ¹ ) ² + ¹ × ( 1² ) ² = }}

問題⑵⑶の数学的帰納法について4つ質問させて下さい！質問量が多くてすみません… ①写真1枚目の赤の下線を引いた部分について、私の解答（写真2枚目）では全て、整数でなく自然数と書きました。私は赤線部分は自然数の範囲に収まるのかなと思っていたので、なぜわざわざ整数と書いている... 続きを読む

2021年度 〔4〕 α=2, b=1および リー an+1=2a+36, b +1=α+2b (n=1, 2, 3, ...) で定められた数列{an}, {bn}がある。 C = a b とおく。 (1) c2 を求めよ。 149 (2) cm は偶数であることを示せ。 (3) nが偶数のとき, cm は28で割り切れることを示せ。 ポイント 連立の漸化式で定められる2つの数列の一般項の積についての数学的帰納法 による証明の問題。 (1) 漸化式でn=1 とおいて求める。 (2) 数学的帰納法により証明する。 (3)n=2mとおいて, m について数学的帰納法で証明する。 解法 (1) a2=2a+3b1=4+3=7 b2=α +261=2+2=4 より C2=azbz=7×4=28 (2) a1=2,b=1,4+1=2a+3bb1=an+2b (n=1, 2, 3, ... より帰納的に a b が整数であると言えるので, cm=amb" も整数である。 cm が偶数であることを数学的帰納法により証明する。 (I)n=1のとき,c=a,b=2×1=2より C1 は偶数である。 (II)n=kのとき cが偶数であると仮定すると, a b は偶数であるから=211は 整数) とおける。 n=k+1のとき ( Level A TRAIGHT Ck+1=ax+1bk+1=(2a+3b) (+26) =2a²+7ab+6b²=2a²+14Z+6b2² =2(a²+71+3b²2 ) ここで, a2+71 + 3b²2 は整数であるから Ck+1 も偶数である。 (I), (II)より すべての自然数nに対してcm は偶数である。 (証明紋) (3) n=2m(mは自然数とおき, C2mm が28で割り切れることを数学的帰納法によ り証明する。 (I) m=1のとき, c2 = 28 より 28で割り切れる。 (II) m=kのときc2が28で割り切れると仮定すると, 28 (1は整数)とおけ る。 m=k+1のとき C24+2=a2+2b24+2 = (2a2+1+3b2+1) (a2+1+2b2+1) = {2 (2a2+362) +3 (a₂+2b₂)}{2a+3b₂+2 (a₂+2b2x)} = (7a2 + 12b2) (4a24+7b₂24) = 28a2²+97a2b2+84b2² = 28a2²+97-28/+84b2x² = 28 (a24² +971 +3b₂²) D ここで, a² +971 +3bz² は整数であるから 22は28で割り切れる。 (I), (II)より. すべての自然数mに対して C2me は28で割り切れる。 ゆえに,nが偶数のとき, cm は28で割り切れる。 (証明終)

数列 等比数列の和について どっちの公式をつかえばいいのか分からないです。 分母がマイナスにならない方を選択する認識だったのですが、どのように区別するのでしょうか。

12:02 LQ-4/4 Check 解答 {an}: -1,-2, 6, -4, 22, -24,‥‥ {bn}: -1,8,-10,26, -46,... Cn=9(-2)^-1 よって, n ≧2のとき, n-1 bn = b₁ + Σck k=1 = {cn}:9,-18,36, -72,... よって,等比数列{cn}の初項は9, 公比は−2であるか ら、 n-1 −1+9(-2)k-1 k=1 =-1+ 9{(-2)^-1-1} -2-1 すなわち, n≧2のとき,bn=-3(-2)^-1+2 ..1 an = a1 + = ここで,b = -1であるから, ① はn=1のときも成 り立つ。 よって, bn =-3(-2)^-1+2 (n = 1,2,3,…) これを用いて, n ≧2のとき, n-1 k=1 n-1 k=1 =-1-3 n-1 bk {-3(-2)*-1+2} al 4G83 | (−2) n-1 Ex 結果を確認する

写真の質問に答えてください！

求めるのは、第n群の初項と末項です。 さきほどもとの数列の一般項を求めたので、 第n群の初項が全体で見ると第何項なのかがわかれば、 求めた に代入して、その値が求められるはずです。 では、第n群の初項は全体で見ると第何項でしょうか? nに簡単な数字を代入してみましょう。 例えば、 n=4として第4群の初項が全体で見ると第何項かは、 以下のように考えられます。 「第1群には1個、 第2群には3個、 第3群には5個の項があるから、 第3群までで1+3+5=9個の項が ある。 だから、 第4群の初項は、 9+1=10より全体で見ると第10項だ。 そして、第4群の末項は同じように考えて 1+3+5+7=16より第16項だ。｣ これと同じことをすればよいのです。 一般的に考えてみましょう。 第1群には1個、 第2群には3個、第3群には5個の項が含まれます。 つまり、第k群に含まれる項の個数が、 という等差数列になっていることがわかります。 この等差数列の一般項は、 bk=2k-1ですので、第k群には2k-1個の項が含まれることになります。 よって、n-1群の最後の項までに全部で n-1 an= 2n n-1 個の項があります。これを計算すると、 k=1 bk = 1, 3, 5, 7... Σ(2k-1) k=1 Σ(k-1)=n(n-1)-(n-1) =(n-1)² となります。つまり、第n-1群の末項は、 全体で見ると第(n-1)2項です。 元々の公式と変形方法 よって、第n群の初項は、全体で見ると第(n-1)2+1項であるといえます。したが 第n群の最初の 項は､ を教えてください a(n-1)2+1 = 2{(n-1)2 +12 青ラインの式は初項を求める ために使っているだと思います が、元々の公式を変形させた のですよね? = 2(n-1)2+2

⑶の2、3問目の解説お願いします🙇

f(x) 第2問 a,bを定数とし, 関数f(x) = x2 + ax + b がある。 関数f(x) はx=1で 最小値をとり, 放物線y=f(x) の頂点Kが直線y=2x-6上にある。 解答番号 (11-4) (1) a= AP 14 [14] 22 に当てはまるものを、 それぞれ5ページのa~eのうちから一つずつ選べ。 F(x)=x²-2x-3 =(x-3)(x+1) :X=-1138 (2) y=f(x)のグラフとx軸の交点をA,Bとし, △ABK の面積をSとする。 -3 b = 15 である。 〃 (x+_a) ²_ a²+ + b における最大値をM, 最小値をm とする。 43 (i) k = =2のときm=18である。 C²H²O C²H²O -1 -4=++−2+b b-3 また, 点Pをy=f(x) のグラフ上のx≧0かつy≧0の部分にとる。 このとき √6 △ABP の面積が1Sとなるような点Pのx座標は 16 + 17 である。 √5 4 (3) kを正の定数とする。 g(x) =|x2 + ax + 6| とし, 関数 g(x) の 0≦x≦h (ii) M=g(k) となるようなんの値の範囲は0<k≦ 19 A = -2 9=1 FORSKRY I FYSN 2 VESSPOR ? (i) M-m= 2kとなるようなんの値はん= 21 + 22 である。 + 05 (+2√2 20 ≦んである。

階差数列を記述で解くときいつも n-=1のときa1=3･1^2-4･1+3=2より ①はn=1でも成り立つ と書いていたのですが、 とある模試の解説で n-1のとき3･1^2-4･1+3=2=a1 と書いていました。 私の記述方法でも問題ないのでしょうか？？

基本例題 105 階差数列 (第1階差) 次の数列{an}の一般項を求めよ。 2,7,18,35,58, 1). (1+ 指針 数列を作る規則が簡単にわからないときは, 階差数列を利用するとよい。 数列{an}の階差数列{bn} とすると bn=an+1-αn () ME {an}: a₁ az a3 a4 {bn}: 616263 n≥20 これは 誤り! ...... n≧2のとき an-1 an CENA n-1 an=a₁+Σbk k=1 -TEX n≧2のときについて, 数列{an}の一般項を求めた後は, それがn=1のときに成り立つか どうかの確認を忘れないように。 THES n-1 =2+6≥k-1 k=1 bn-1 k=1_ n-15I 「n≧2」としないで上の公式αn=a+bk を使用したら, 間違い。 なぜなら, n-1 n=1のときは和②bk が定まらないからである。 k=1 n-1 an= a₁ + Zbr=2+(6k−1) 次の数列の CHART {an}の一般項わからなければ 階差数列{an+1-α,} を調べる =(( [~) • ( [~$ ) + ( [+s}}& 解答 数列{an}の階差数列を {bn} とすると((+1)+2=2 $105 {an}: 2,7,18,35,58, {bn} 5, 11, 17, 23,...... 数列{bn}は,初項 5, 公差 6の等差数列であるから bn=5+(n-1)・6=6n-1 120 =2+6・1/12 (n-1)n-(n-1) =3n²-4n+3 ...... ① 求めよ。 3n²-4n+3=3.12-4・1+3=2 TONOVOLEO p.5383 n=1のとき 初項はα=2であるから, ① はn=1のときも成り立つ。 an=3n²-4n+3 したがって (S+R)+(1+BS) I+ (1+x) 12 7 18 35 58 5 11 17 23 +6 +6 +6 a n≧2に注意。 (2+)2 nではない ことに注意。 (€+S+7)+(S+1)+1= Ekiak= n(n+1) C nの代わりにn-1 とおい たもの。 初項は特別扱い は1で1つの式に変 される (しめくくり)。 + (1+wx + + U ! $$U +(1+ms)}(1+8)

(2)~(4)の解き方を教えてください🙇🏻‍♀️💦 答えは画像に書いてある通りです。 (1)は2枚目に書いてあります。

(2) 図3のように、 図1の立方体の面 ABFE と面 AEHD をそれぞれ共有している2つの直方体 を考える。 ただし, 1点 M, J, Ⅰ.Nは一直線上にあるとする。 図3 M. 2 -cm²である。1 9 C-IJKGL の体積は (4) 五角形 IJKGL の面積は 7.17 6 図 4 このとき, 三角錐 G-CMN の体積は I オ B B K K F F cm である。 7 ク J 3 (3) 図4のように、 図1の五角形 IJKGLを底面とする五角錐 C-IJKGL を考える。 五角錐 力 キ J サ A EL A E ケコ I C G - 12 - G I 1. H cm であり, 三角錐 C-BJKの体積は D L cm” である。 N H