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第1章 式と証明
基礎問
11 恒等式
9/24%25
(1)x
次の各式がェについての恒等式となるような定数a, b, c の値
(2)xxx(1) 20
と3つの文字だから
3つ式をたてる
①に,x=0, x=1, x=2 を代入して
b=c
a+b+1=0 (a=-3
1+a+b=0
..
[8+2a+b=c +2
a=-3
b=c
..
b=21
23
St
第1章
を求めよ.
(1)x+ax+b=(x-1)(x+c)
(2)a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3.x+4
の等式は, 恒等式と方程式の2つに分けられます.
精講
恒等式 : すべての数xで成りたつ等式
方程式: 特定のæでしか成りたたない等式
(この特定のェを解といいます)
恒等式の問題の考え方には次の2通りがあります。
I. 係数比較法
ar2+bx+c=ax2+bx+c' がェについての恒等式ならば,
II. 数値代入法
a=α', b=b',c=c'
等式がすべてので成りたつので, rに0とか1とか具体的な数値を代入
する.
逆に,このとき, 左辺 =x-3+2,
+6
c=2から
◆吟味が必要
(右辺)=(x-1)(x+2)=(x²-2x+1)(x+2)=x-3+2)
よって, 適する.
(2) (解I) (係数比較法Ⅰ)
(左辺)=a(x²-2x+1)+6(x-1)+c=ax²+(b-2a)x+a-b+c
右辺と係数を比較して
a=2
b-2a=-3
la-b+c=4
(係数比較法Ⅱ)=X-1
(解Ⅱ)
x=t+1 とおくと
a=2
b=1
c=3
X-1のままでは楽しちゃうと…??
(左辺) =at2+bt+c, (右辺)=2(t+1)2-3(t+1)+4=2t°+t+3
係数を比較して, a=2, 6=1,c=3
(解III) (数値代入法)
a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3x+4 ... ②
②の両辺に,x = 0, 1, 2 を代入して
??
ただし、この方法で得られた条件は, 恒等式であるための必要条件
(I・A25) なので、解の吟味 (確かめ) をしなければならない.
どちらの手段によるかは状況によるので善し悪しは一概にはいえませんが,
ここでは,2問とも両方の解答を作っておきますので, 比較してください.
解答
(1) (解Ⅰ) (係数比較法)
(右辺)=(2-2x+1)(x+c)=m+(c-2)x2+(1-2c)x+c
左辺と係数を比較して
[a-b+c=4
c=3
_a+b+c=6
[a=2
b=1
_c=3
逆に,このとき, 左辺 =2(x-1)2+(x-1)+3=2x2-3x+4=右辺
となり適する.
ポイント
恒等式は次の2つの手段のどちらか
I. 係数比較法 (吟味不要)
Ⅱ. 数値代入法(吟味必要)
◆吟味が必要
c-2=0
1-2c=a
|c=b
(解Ⅱ)(数値代入法)
[a=-3
b=2
Lc=2
+ax+b=(x-1)(x+c) ...... D
演習問題 11
Dan
3-9x2+9x-4=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cr+d がェの
どのような値に対しても成りたつとき, a, b, c, d の値を求めよ.
