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13 奇偶で形が異なる漸化式
次のように定められた数列がある.
n
n+1
α」=1, an+1=an+
2
(1) 2=
|, a3=1
a6=□, a= |
(n=1, 3, 5, ...), an+1=an+
である.
2
(n=2, 4, 6, ...)
(2) 439=
I, so=
である.
(3) 初項から第40項までの和は
である.
奇偶で形が異なる漸化式
(明大・農)
の奇隅で形が異なる漸化式は,n=2k-1, n=2kとおいて, 奇数項 (a,
……どうしに成り立つ漸化式。つまり、ak+」をza-」で表す式を立てて解き、もとの漸化式に戻
てを求める.
解答量
1+1
2
(1)q=1より, a2=a+ =2, a=az+
=3,
2
6
5+1
a=a3+
3+1 L=5.05=a+1/2=7.
2
=7, a6=as+ 2
=10, α7=46+ 2
=13
(2)n=2k-1のとき,
(2k-1)+1
α(2k-1)+1=2k-1 +
..
azk=azk-1+k
2
2k
2
(
n=2kのとき,a2k+1=a2k+ -=azk+k
①,②より, a2k+1=Q2k+k= (a2k-1+k)+k=a2k-1+2k
n≧2のとき,
azn-1=a1+(ag-a)+(α5-a3)++ ( an-1-a2n-3)
=a+(a2k+1-a2k-1)=1+2k=1+2.-
2.1/2(n-1)n
n-1
k=1
n-1
k=1
=n2-n+1(n=1のときもこれでよい)
① から, a2n=azn-1+n=n2+1
③ ④でn=20として, α39=202-20+1=381, ao=202+1=401
(3) ③ ④ より
20
n=1
20
(azn-1+ a2n)=(2n²-n+2)
n=1
=2･1･20-21-41-12 ・20・21+2・20=5570
13 演習題 ( 解答は p.77 )
④
奇数項についての漸化式を立て
て奇数項を求める。 偶数項は奇
数項からすぐに分かるので, 偶数
項についての漸化式は立てる必
要はない.
a=na
k=1
次の漸化式によって定義される数列{az} (n=1, 2, ...) について, 次の問いに答えよ.
1
a1=4,a2n=/02n-1+n2, a2n+1=442m+4(n+1)
(1) a2, 3, 4, 45 を求めよ.
(2), 2n+1をnを用いて表せ.
(3){4}の項で4の倍数でないものは,nの値が小さいものから4項並べると, 4,
ao, a, a である。
(2) 奇数番目の項だけ
に着目する.
(3)
2+1 は漸化式か
68
(類 松山大薬)
(1)
(2)
(i
(in
(i
■解
(1)
左
(2
I
