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う。
7
演習 例題 124 合同式を利用した証明 (2)
on は奇数とする。 このとき,次のことを証明せよ。千葉大 ]
(1218の倍数である。
(2)は3の倍数である。
3
10の倍数である。
決まった数の割り算(倍数)の問題では合同式の利用の方針の解答を示す。
指針▷
(1) は法8の合同式を利用し, (②)は法3の合同式を利用することはわかるが, (3) を法120
の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで,
(1), (2) は(3) のヒントに従って
n³_n=n(n²+1)(n²-1)
は 8×3=24の倍数
考えると
(2) から、3の倍数↑↑↑
(1) から8の倍数
120+24=5であるから、後は,n-nが5の倍数であることを示せばよい。
解答
(1) nは奇数であるから
n
n=1,3,5,7 (mod 8)
このとき、 右の表から
n²-1=0(mod 8 )
よって、nが奇数のとき, ²-1は8の倍数である。
(2) 2012 (mod3)のとき,
右の表から-n=0 (mod3)
よって
は3の倍数で
ある。
n
1 3
19≡1
0 0
2
nº
n²-
2
n
n5-n 0
5
7
25=1 49=1
0
0
||
(3) n5-n=n(n²+1)(n²−1)
ここで,(1) から²-1は8の倍数であり,これと (2) から,
ninは24の倍数である。
0 1
2
n
n5 0 15 1 25=2
n n 0 0 0
ゆえに -n が 120の倍数であることを示すには,n-n
が5の倍数であることを示せばよい。
n=0,1,2,3,4 (mod5)のとき, n-nを計算すると,
次の表のようになる。
0
1
0 15=1
0
って
ns-n=0 (mod 5)
したがって, nn は 8 かつ3かつ5の倍数, すなわち120
の倍数である。
3
4
2
25=2 35=3 45=4
0
0 0
演習 123
n は奇数であるから, 8で
割った余りが偶数になるこ
とはない。
条件では, n は奇数である
が すべての整数nについ
ては3の倍数であ
る。
120=3-5-8
5 を法として
35=34-3=1.3,
4°=4.4≡(42)2.4=1･4は
M
3と5と8は互いに素。
の特集
TURAL
で割り切れない奇数のとき, n-1は80で割り切れることを証明せよ。
5でも割り切れない整数のとき, n-1は240で割り切れ
497
4章
19
発展合同式
･ある。
ある。
:-1)
たと
数は,
2)
数で
ある
には,
①へ。
5
るな
を満
つ。
5
る
n進
いう。
14234
