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1は単調に増加し, 62・63=3906, 63·64=4032 である
①を満たす自然数mは
m=63
2
1999-1953=46
63+(46−1)・1=108
そして、その数は
よって 第1999 項は 第63群の46番目の項である。
=63のとき
1(m-1)m= ･・62・631953
習2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
1 3 1 35 7 1 3
112
5
1/1¹ 8¹ 8¹ 8¹ 8¹ 16' 16' 16'
について、第1項から第100項までの和を求めよ。
2'
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
|13|1
35 7|1 3 5
816'16'16'
24'48'8'8
第k群には2′-1個の項があるから, 第1群から第n群までの
項の総数は
1+2+22+ +2"-1=
第100項が第n群の項であるとすると
2−1−1 <100≦2"-1
1
2n {1+3+
k=1
2-1-1は単調に増加し, 2-1=63, 27-1=127であるから,
⑩ を満たす自然数nは
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって, 第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の項の和は
2"-1
2-1
・+(2"-1)}=
2
Σ2²-2+ 12/17 11+3+......
=27-2
更に、各群の番目の項の分子は2k-1 である。
よって、求める和は
126-1 1
+
2 2-1 128
•63+
1369
128
·=2"-1
...+(2.37-1)}
･372
1 1
22
5401
128
15 | 1
1632
15 1
16'32'
•2"-1{1+(2"-1)}
←第62群の末項が第
1953 項となる。
練習 自然数 1,2,3,
を、 右の図のように並べる。
13 (1) 左からm番目、上から1番目の位置にある自然数をmを用いて
数学B409
←初項1,公比 2 項数n
の等比数列の和。
←2°-1=63
[類 岩手大]
は第n群の分子の
和で,初項 1, 末項2"- 1,
項数 2-1の等差数列の和。
←1+(k-1)・2=2k-1
k=1
← 224-²=-2 / / /
12
・2k-1
← 1+3+5+•••･・･
+(2n-1)=n²
[xhiA2m²)
4h²
1 2 4 7
3 5
8
6 9
***
.....
35
練習
列]
