14 次の和を求めよ.
2 3
++
4
(1) 1+1/ 22 2+2³
n
+
2n-T
(3) 2+3・22+5・27・2‘+....+ (2n-1) ・2"
3
4 7 10
(2)1+1+1+1/+
9 27
3n-2
例題 8 群数列
(4) 1+3x+5x²+x++(2n-1) ・x-1
3"-1
に分けるとき、次の問いに答えよ。
奇数列を1/3,57, 9, 1113, 15, 17, 1921,
......
のように第n群がn個の数を含むよう
(1) 第n群の最初の数を求めよ.
(2)301 は第何群の第何項目の数か.
(1) 第(n-1)群の最後は初めから数えて, 1+2+3+…+(n-1)=1/2m(n-1)項目.
よって、 第n群の最初の数は,
{12月 (n-1)+1} 項目の奇数だから,2.1/12m(n-1)+1-1=
-1=n²-n+1......
(2)①より,第(n+1) 群の最初の数は,(n+1)-(n+1)+1=n+n+1……②
301が,第n群の第k項目の数であるとすると、 ① ②より、
n_n+1≦301<n2+n+1 よって, n(n-1)≦300<n(n+1):
は自然数だから, ③を満たすnは,n=17
......③
また、第17群の最初の数は,①より, 172-17+1=273
これより,第17群は, 初項 273, 公差2の等差数列だから,一般項は,2k+271
したがって, 2k+271=301より,k=15
ゆえに、第17群の第15項目の数.
15 自然数を次のような群に分ける。このとき,次の問いに答えよ.
12,34, 5, 6, 78, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16,
(1)第2群にある数の和を求めよ.
(2)500 は第何群の第何項目の数か.
ポイント
① (等差数列の項)×(等比数列の項) の形の数列の和 S, は, S, の両辺に等比数列の公比rを掛けて,
S-S の形をつくる.
②一般的に,群数列の問題は,n群(n-1群)の最後が,初めから数えて何項目になるかを求めて
おくとよい。
