x1119
重要
例題
左上をホッチキスでとめて当員に提出。
207
3]
S. h
130点(x+y, xy) の動く領域
実数x, y が x2 +y' ≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の動く領域
を図示せよ。
指針
x+y=X, xy=Yとおいて,X,Yの関係式を導けばよい。
① 条件式x2+y2≦1 を X, Yで表す。
→
x2+y2=(x+y)²-2xyを使うと
しかし, これだけでは誤り!
X2-2Y ≦1
重要 129
2
本 110 110
外である
関係式
D
2
x, y が実数として保証されるような X, Yの条件を求める
→x,yは2次方程式(x+y+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0 の2つの解で
あるから,その実数条件として
判別式 D=X2-4Y≧0
X=x+y, Y=xy とおく。
x2+y2≦1から
① 実数条件に注意
(x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1
解答
X2
したがって
Y≥
1
2
2
①
また,x,yは2次方程式2-(x+y) t+xy=0 すなわち
3章
1 不等式の表す領域
t-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
ると
ここで
D≧0
D=(-X)-4・1・Y=X'-4Y
よって, X2-4Y≧0 から
2数α, βに対して
p=a+β,q=aβ
とすると, α,βを
解とする2次方程
式の1つは
x²-px+q=0
X2
Y≤
②
YA
4
①.②から 11/12/rs
SY≤
X2
X2
AST
4
変数を x, y におき換えて
x2
1
x²
-
≤y≤
2 2
4
2/
したがって, 求める領域は,右の図の
-√√2
12
0
斜線部分。 ただし, 境界線を含む。
x
x21x2
2 2
とす
るとx=±√2