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【4】 b を正の数としの2次方程式 bx+1=0が虚数解 α をもつとする。次
の問いに答えよ。
(1)ものとり得る値の範囲を求めよ、
(2)
(3) 次の条件 (1) (II)をともに満たす 3次方程式が存在するようなもの値をすべて求め
α α をそれぞれ Aα+ B (A, B はもの多項式) の形で表せ.
32
よ
(I) 係数はすべて実数である。
実数に、宗教、共役な複素数
(II)α2 とαの両方を解にもつ。
(40点)
x²-bx+/-
考え方
(1) 判別式の符号を考えましょう。
(2)xαが方程式f(x)=0の解であることは, f (α) =0が成り立つことと同値です.
(3) as は虚数となるので、条件(1) (I)をともに満たす3次方程式が存在するとき、その3次方程式は虚数解を2個も
ち、それらの虚数は互いに共役となります。”も解ですから、がと共役かどうかで場合分けをしましょかも
x2-bx +1=0
【解答】
(1) ①の判別式をDとすると
D=(-b)2-4.1.1=62-4=(b+2)(b-2)
ax+bx+cx+d=o
abc.da
無の和
2解を
α + + 8 = a
だったら、係数
......①
x + 3 + 8 x -
右ができ
が成り立つ
である実数係数の2次方程式 ① が虚数解をもつのでD0,すなわち
2<b<2であり,これと60よりものとり得る値の範囲は
0<b<2
である.
......② (答)
(2) αは①の解であるから
α-ba+1=0
が成り立つ. よって
a²=ba-1
であり,③を用いると
α = α α2
=α(ba-1)
......③ (答)
a
2-えがのだったり、又は2
=bba-1)-α
=(2-1)a-b
2つが消えるような数
3次代の解はPic
で、答えは実数になるということは、
共役な複素数をもつ数が目にある
xxbx + 1 で割ることに
x3 = (x2-bx+1)(x+6)
+(62-1)x-b
････④ (答)
となる.
でくる
が得られる.これにx=αを代
入してもよい.
解説 1° 実数係数の方程式
(3) αは虚数であるから, a α = α (1-α) ¥0 である. よって、α キαで
あるから, (II)を満たす3次方程式の3つの解のうち2つはα αである.
また,αは虚数で, 60であるから,③ より αは虚数である,よって,(I),
(II)をともに満たす3次方程式は と共役な複素数(キα2)も解にもつの
で、もう1つの解をすると
(7) B= a²)
が実数
(1) a³ = a²
のいずれかが成り立つ かがの共役な複素数
バー(一)
共役な複素数という意味
(ア)のとき, α2+β=a2+αであるから,α2 +βは実数である.また,
は実数であ
と虚数解
X, Y を実数とし、
|α = X + Yi とすると,
α = X-Yi であるから
a² + a² = 2X
となる. よって, α2 + α は実
数である.
解説 2°解と係数の関係
(I)と解と係数の関係よりα + α + βも実数である. よって
るから,④と② より
すなわち
b2-1 = 0 かつ 0<b<2
(610-6
再
だから、を消したい!
→6210であればOK
ー ②数13-
b2=1 Ocbc2より b=1
