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第5章 微分法
基礎問
81 微分法の不等式への応用
>
(1)x>0 のとき,f/12+x+1 が成りたつことを示せ.
(2)lim=0を示せ.
(3) limrlogz=0 を示せ.
+0
y=er 上の点(0, 1) における接線を
求めると, y=x+1 になります。 こ
のとき,右図より y=e² が y=x+1
149
y=ez
y=x+1
より上側にあります. だから, x>0では
x+1,すなわち, f'(x)>0であることが
わかります.
-1
10
T
(2)>0のとき,(1)より >
付して.
r2+x+1>
2
2
IC
精講
(1) 微分法の不等式への応用はⅡB ベク 97
みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。
ⅡB ベク 98 で学習済
∞
lim 20 だから、はさみうちの原理より
I
lim=0
(2)は78に,(3)は演習問題 79 にでています。
注 解答では,x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように
大学入試で,これらが必要になるときは,
Ⅰ. 直接与えてある (78)
II. 間接的に与えてある (演習問題 79)
Ⅲ. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81
のいずれかの形態になっているのがフツウですが, たまに, そうでない出題も
あります。
だから,この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん, 証明
の手順もそうです.(1) や (2)で不等式の証明 (3)で極限という流れは44,45で
学んだはさみうちの原理です.
(1) f(x)=-
解答
+x+1) とおく.
導関数単調なら
元も単調
プラス
f(x)は常にチン
なります。
0<
2x
2
x2+2x+2
より
2
x+2+
I
(3)(2)において,r=log-
og / とおくと,t+0 のとき,x→∞
*†, e² = elog = 1, x=-logt だから,
lim(-tlogt)=limax=0
t→+0
また, lim (-tlogt)=-lim (tlogt) 1
t+0
t+0
limtlogt0 すなわち, limxlogx = 0
t→ +0
x+0
f'(x)=e-(x+1), f"(x)=e²-1
のちて分からない
>0 のとき,> が成りたち, f(x)>0
接線傾きつまり
f(x)の上昇、下降
したがって、f'(x)はx>0 において単調増加。
を表す!
ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(x)>0
よって, f(x)はx>0において単調増加.
ここで,f(0) =0 だから,x>0 のとき, f (x)>0
ゆえに、x>0のとき、12++1
ポイント
IC
lim
=0
lim
log x
8
et
→∞
I
演習問題 81
=0 lim xlogx=0
x+0
(1)x>0 10g を示せ.
(2) lim
log x
I
-= 0 を示せ.
第5章
