例題 3
次の等式がェについての恒等式となるものとする。 このとき, a,b,
c. d の値をそれぞれ求めよ。
-3.x +5
a
b
(1)
(x+1)(x+5)
(2) x2 +3.x+4=a(x-1)(x-2)+6(x-1)+c
+
x+1 x+5
(3)x3+4.x2+2x+1=a(x-1)+6(x-1)2+c(x-1)+d
ポイント
(1) 恒等式は, まったく同じ式ということ。 本間は、 右辺を通分して同じ分母
にしたときに、分子がまったく同じ式になる! と考えます。
(2)x1,x-2という因数があるので, 数値代入法。
(3) x-1が3回出てくるので, 置き換えます。
=1.2を代入
-3x +5
解答 (1)
(x+1)(x+5)
であるから,
a(x+5)+6(x+1)
・右辺を通した
(x+1)(x+5)
-3x+5=a(x+5)+6(x+1) 分子が恒等式になれは、全体も恒等式
が恒等式。 係数を比較して ←上の式が
-3=a+b これを
5 =5a+6 解いて
(2)x=120を代入して
恒等式なので
a=2,6=-5
ポイント x-1, x-2の因数があるので
x=1,2を代入する(計算がラク)
x=0も計算がラク
8=c
これを
14 = 6+c
a=1, 6=6,c=8
解いて
4=2a-b+c
(3)t=x-1と置き換えた
たとえば、 恒等式
3x+5=3x+5に
x=t+1を代入した
3(t+1)+5=3(t+ 1) + 5
はまた恒等式 (まったく同じ式)
(t + 1) + 4(t + 1) + 2 (t + 1) + 1 = at + bt + ct +d
も恒等式。 ここで,
(ポイントを見よ)
(左辺) = (t+3t + 3t + 1) + 4 (t2 + 2t + 1) + (2t + 2) + 1
=t + 7t+ 13t + 8
係数をくらべて
a=1,b=7,c=13, d=8
ポイント
パターン3 恒等式
