OO0。
の分数の数列につい。
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基本 例題112詳数列の応用
10 11
5
7
8
9
3
4
5
6
4
1
1'2
2
2'3'3'3'4'4'4
[類東北学院大)
初項から第210項までの和を求めよ。
ャ
指針> 分母が変わるところで 区切り を入れて,群数列 として考える。
分母:1|2,2|3, 3, 3|4,4, 4, 4|5,
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10| 11,
分子は、初項1,公差1の等差数列である。すなわち,もとの数列の項数と4、
1個 2個
しい。
まず、第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
6|7
1|2' 2|3'3'3|4'4'4'
くもとの数列の第k項項はら
子がkである。また、第
群は分母がkで,k個のキ
を含む。
4これから,第n群の最後。
10|11
4|5
1|2
3|4
5
8 9
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+………+n=
数の分子は (n+1)
第210項が第n群に含まれるとすると
(n-1)n<2105n(n+1)
よって
(n-1)n<420Sn(n+1)
(n-1)n は単調に増加し,19-20=380, 20-21=420 であるから,
のを満たす自然数nは
また,第210項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
n=20
-20-21=210
2
e(nー1)+1+(n-1)-1|=n="+1
は第n群の数の分子
の和→等差数列の和
2
ゆえに,求める和は
1-(+り-(2142)
1/ 20-21·41
+20
6
n(2a+(n-1)d)
k=1
2 (k=1
k=1
=1445
練習
2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
112
1 1 31
3
5
7
1 3 5
2'4' 4 8' 8' 8'8' 16' 16'16'
15
32'
1
について,第1項から第100項までの和を求めよ。
16
【類岩手大)
Cs CamScannerでスキャン
p.556 EX74
