次の等式を証明せよ。
EX
の7
(1) k,C&=nnー.Ck-1 (ただし n>2, 1<kSn)
(2) C:+2*»C2+3*,C3+……………+n,Cn=n·2"-1 (ただし (n21)
のチ(3) 2-1·,Ca+3·2*,Cs+……+n(n-1),Cェ=n(n-1)2"-2 (ただし n22)
(ud)
(1) k,C&=k-
=n
(R-1)!{(n-1)-(k-1)}!
ニnnー1Ch-1 {wil
余
(2) 二項定理により
(1+x)"=nー1Co+カ-1C1X+カ-1C22+ +n-1Cカー1X"ー1
x=1 を代入すると
2"-1=ョー1Co+カ-1C」+n-1C2+… +ョ-1Cカー1
よって,(1)を用いて
Ci+2 C2+3»Cs+ +n»Cn
=n(n-」Co+ョ-」Ci+n-1C2+……+n-1Cn-1)=n·2"T
日(1+x)”ではなく
KX
(3) 二項定理により
(1+x)"-2=nー2Co+カ-2C1*+n-2C2x+.
t59,9年59
+カー2Cカー2X"-2
日(1+x)”ではなく
x=1 を代入すると
2"-2=nー2Co+m-2Ci+n-2C2+……+n-2Cn-2
(1) を繰り返し用いて
k(k-1),Cx=n(k-1)ヵ-1Ck-1=n(n-1)n-2Cx-2
2-1.,C2+3-2* Cs+ +n(n-1),Cn
=n(n-1)(n-2Co+n-2C」+ +nー2Cn-2)
=n(n-1)2"-2
-d
(1)から
TR-1)n-1Ck-1
(n-1)n-2Ck-2
よって
