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点
重要 例題239 2つの放物線とその共通接線の間の面積
2つの放物線C1:y=x2, C2:y=x2 - 8x +8 を考える。
(1) CとC2の両方に接する直線l の方程式を求めよ。
(2) 2つの放物線 C1, C2 と直線lで囲まれた図形の面積Sを求めよ。
xx-α)
二下関係は
-4x+3
3x-33
指針 (1) 「Cに接する直線がC2 にも接する」と考える。まず, C
上の点(p,p2) における接線の方程式を求め,この直線が
C2 に接する条件を,接線⇔重解を利用して求める。
(2) 面積を求めるときの定積分の計算には,前ページ同様
[(x—a)²dx= (x_a)³
-+C (C は積分定数) を使うとらく。
3
(1)
755
における接線の方程式は,y'=2xから
上の点(p,p2)
y-p²=2p(x-p) b5 y=2px-p².
①
この直線がC2 にも接するための条件は、 2次方程式
2px-p2=x2-8x+8
ゆえに
xh
(2)
x=-1+4=3
Ci, C2 との接点のx座標は,それぞれ
7:01:49 2009
すなわち x-2(p+4)x+p2+8=0
が重解をもつことであり、②の判別式をDとするとD=0
WURD
ここで
D={-(p+4)}²-1• (p²+8)=8(p+1)
p=-1
よって
8(p+1)=0
① から、直線ℓ の方程式は
y=-2x-1
(2)=1のとき2次方程式②の解は
......
=S_,(x+1)'dx+∫(x-3)"dx
-3)³
8
8
[(x + ¹)²] + [(x - 3²1 - 3 + 3 = 16
3
3
3
x=-1.3
C1とC2の交点のx座標は,x2=x2-8x+8から
したがって求める面積は
S=S_{x-(-2x-1)}dx+∫{x28x+8-(-2x-1)}dx
x=1
\C₁
1x=-
基本 236~238
2
別解 (1) C2上の点
(g, g2-8g+8) における
接線の方程式は
y-(g²-8g+8)=(2g-8)(x-g)
すなわち
y=2(g-4)x-q2+8 ….. ③
①と③が一致するとき
2p=2(q-4), -p²=-q²+8
これを解いて
-1
000
p=-1, g=3
よって、直線l の方程式は
y=-2x-1
-2(p+4)
2･1
AVCi
1
l
から。
3
3
71
4
面
積
